幾何題標籤：中點線段小題求證對角線
已知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作ef⊥bd交bc於f,連線df,g為df中點，連線eg,cg.
(1)求證：eg=cg
(2)將圖①中△bef繞b點逆時針旋轉45度，如圖②所示，取df中點g，連線eg,cg.問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。
（3）將圖①中△bef繞b點旋轉任意角度，如圖③所示，再連線相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什麼結論？（提示：仍然成立，還能得出eg⊥gc）
注意：只要解答（3）小題就可以了。圖形請看附件。
分析：解題要注意隱含條件的應用！題中g是df的中點，而隱含條件正方形中心是對角線的中點，因此實際上這是乙個多中點問題，因此可以新增三角形中位線基本圖形來解！
略證：取正方形中心o，等腰直角三角形斜邊上的中點m，
鏈結go，eg，mg，根據三角形中位線定理等易證go=bf/2=em，
mg=bd/2=co，四邊形mbog為平行四邊形，
∴∠goc=90°+∠god=90°+∠fmg=∠emg，
∴△goc≌△emg，∴gc=ge，∠ogc=∠meg，
易知∠egc=∠egm+∠mgo+∠ogc
=∠egm+∠fmg+∠meg=180°-90°=90°，
∴gc⊥ge
回答：2010-03-31 21:12
注：我標記了g,h兩點，以便說明；x^n(n=2,3...)表示x的n次方。
解：1）根據題意有：
bg=bf=x,則
hf=fg= √2bf = √2 x
由題意有：ef=ab-ae-bf=(hf^2+eh^2)^0.5
計算可得：x=6
則正方體的體積 v=gf^3=(√2 x)^3 =2√2 x^3=432√2；
2）設ab=bc=cd=da=d=24根據題意則有
s= 4*hf*fg + fg*fg
hf=(1/2)*√2*ef
ef=d-2*x
fg=√2 x
由此可得：s=4*(1/2)*√2*(d-2*x)*√2x+2x^2
= -6x^2+ 4dx
=-6[(x-d/3)^2-d^2/9]
=-6(x-d/3)^2+2*d^2/3
即當x=d/3=8時，s最大且等於384.
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