(時間120分鐘，滿分150分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2013·江西高考)若sin＝，則cos α＝( )
ab．－
c. d.
【解析】 cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
【答案】 c新-課 -標- 第-一-網
2．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b與a共線，那麼a·b的值為( )
a．1 b．2
c．3 d．4
【解析】 a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b與a共線，
∴k＋2－3k＝0，得k＝1.
∴a·b＝(1,1)·(2,2)＝4.
【答案】 d
3．sin(x＋27°)cos(18°－x)＋sin(18°－x)cos(x＋27°)＝( )
a. b．－
c．－ d.
【解析】 原式＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
【答案】 d
4．下列各向量中，與a＝(3,2)垂直的是( )
a．(3，－2) b．(2,3)
c．(－4,6) d．(－3,2)
【解析】 因為(3,2)·(－4,6)＝3×(－4)＋2×6＝0，
所以選c.
【答案】 c
5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等於( )
a．－ b.
c. d.
【解析】 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
(2a＋b)·(a－b)＝9，
|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.
設所求兩向量夾角為α，則cos α＝＝，
∴α＝.
【答案】 c
6．若α是第四象限的角，則π－α是( )
a．第一象限的角 b．第二象限的角
c．第三象限的角 d．第四象限的角
【解析】 ∵2kπ＋<α<2kπ＋2π(k∈z)，
∴－2kπ－>－α>－2kπ－2π(k∈z)．
∴－2kπ－>π－α>－2kπ－π(k∈z)．故應選c.
【答案】 c
7．在△abc中，若sin acos b<0，則此三角形必是( )
a．銳角三角形 b．任意三角形
c．直角三角形 d．鈍角三角形
【解析】 ∵sin acos b<0，a、b為△abc內角，
∴sin a>0，cos b<0.
因此【答案】 d
8．若實數x滿足log2x＝3＋2cos θ，則|x－2|＋|x－33|等於( )
a．35－2x b．31
c．2x－35 d．2x－35或35－2x
【解析】 ∵－2≤2cos θ≤2，
∴1≤3＋2cos θ≤5，
即1≤log2x≤5，
∴2≤x≤32
∴|x－2|＋|x－33|＝x－2＋33－x＝31.
【答案】 b
9．已知△abc和點m滿足＋＋＝0.若存在實數m使得＋＝m成立，則m＝( )
a．2 b．3
c．4 d．5
【解析】 ∵＋＋＝0.
∴m為△abc的重心．
連線am並延長交bc於d，則d為bc的中點．
∴＝.又＝(＋)，
∴＝(＋)，即＋＝3，比較得m＝3.
【答案】 b
10．(2013·山東高考)函式y＝xcos x＋sin x的圖象大致為( )
【解析】 當x＝時，y＝1＞0，排除c.
當x＝－時，y＝－1，排除b；或利用y＝xcos x＋sin x為奇函式，圖象關於原點對稱，排除b.
當x＝π時，y＝－π＜0，排除a.故選d.
【答案】 d
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填在題中的橫線上)
11．若tan α＝3，則的值等於________．
【解析】 ＝＝2tan α＝2×3＝6.
【答案】 6
12．(2012·江西高考)設單位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，則|x＋2y
【解析】 設單位向量m＝(x，y)，則x2＋y2＝1，若m⊥b，則m·b＝0，即2x－y＝0，解得x2＝，所以|x|＝，|x＋2y|＝5|x|＝.
【答案】
13．要得到函式y＝3cos(2x－)的影象，可以將函式y＝3sin(2x－)的影象沿x軸向____平移____個單位．
【解析】 y＝3sin(2x－)y＝3sin 2x＝3cos(2x－)．
【答案】 左
14．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若a、b、c三點共線，則實數k
【解析】 ＝(4－k，－7)，＝(6，k－5)，
∵a，b，c三點共線，∴∥，
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
即k＝－2或11.
【答案】 －2或11
圖115．如右圖，在平面斜座標系xoy中，∠xoy＝60°，平面上任一點p在斜座標系中的斜座標是這樣定義的：若＝xe1＋ye2(其中e1，e2分別為與x軸，y軸方向相同的單位向量)，則p點的斜座標為(x，y)．若p點的斜座標為(3，－4)，則點p到原點o的距離|po
【解析】 由點的斜座標的定義可知＝3e1－4e2，
∵2＝9e－24e1·e2＋16e
＝9|e1|2－24|e1||e2|×cos 60°＋16|e2|2
＝9－24×＋16＝13.
∴||2＝13，即||＝.
故點p到原點o的距離|po|＝.
【答案】
三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
16．(本小題滿分12分)(1)已知|a|＝4，|b|＝3，且(a＋2b)·(a－3b)＝0，求a·b；
(2)已知a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2.如果a＋kb與5a＋b互相垂直，求實數k的值．
【解】 (1)∵(a＋2b)·(a－3b)
＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－a·b－6|b|2
＝16－a·b－54＝0，
∴a·b＝－38.
(2)由題意a·b＝|a|·|b|·cos 120°
＝4×2×(－)＝－4.
∵(a＋kb)⊥(5a＋b)，
∴(a＋kb)·(5a＋b)＝0，
即5a2＋(5k＋1)a·b＋kb2＝0，
∴5|a|2＋(5k＋1)·(－4)＋k·|b|2＝0.
∴5×16－(20k＋4)＋4k＝0，∴k＝.
17．(本小題滿分12分)已知平面直角座標系內的rt△abc，∠a＝90°，a(－2，－1)，c(2,5)，向量上的單位向量a＝(，－)，p在cb上，且＝λ.
(1)求點b座標；
(2)當ap分別為三角形的中線、高線時，求λ的值及對應中點、垂足的座標．
【解】 (1)設b(x，y)，＝(x－2，y－5)．
又＝λa，
∴(x－2，y－5)＝λ(，－)．故x＝2＋λ，y＝5－λ，
∴b(2＋λ，5－λ)．
＝(4＋λ，6－λ)，＝(4,6)．
由·＝(4＋λ，6－λ)·(4,6)＝0，得λ＝13.
故點b(7，－7)．
(2)若p是bc的中點，則＝，
∴λ＝，此時，點p的座標為(，)，即(，－1)．
若ap是bc邊的高，則⊥.
∴(＋)·＝0，
即·＋λ·＝0.
又＝(5，－12)，
代入上式有(4,6)·(5，－12)＋λ(5，－12)·(5，－12)＝0.
解之，得λ＝.
設此時點p(m，n)．
∵＝λ，即＝，
∴(m－2，n－5)＝(5，－12)．∴即
∴p(，)．
圖218．(本小題滿分12分)如圖，已知opq是半徑為1，圓心角為的扇形，c是扇形弧上的動點，abcd是扇形的內接矩形．記∠cop＝α，求當角α取何值時，矩形abcd的面積最大？並求出這個最大面積．
【解】 在直角三角形obc中，ob＝cos α，bc＝sin α，
在直角三角形oad中，＝tan 60°＝，
所以oa＝da＝sin α，
ab＝ob－oa＝cos α－sin α.
設矩形abcd的面積為s，則
s＝ab·bc＝(cos α－sin α)sin α
＝sin αcos α－sin2α
＝sin 2α－(1－cos 2α)
＝sin 2α＋cos 2α－
＝(sin 2α＋cos 2α)－
＝sin(2α＋)－.
因為0<α<，
所以當2α＋＝，
即α＝時，s最大＝－＝.
因此，當α＝時，矩形abcd的面積最大，最大面積為.
19．(本小題滿分13分)(2012·湖南高考)已知函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(x∈r，ω>0,0<φ<)的部分影象如圖所示．
圖3(1)求函式f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝f(x－)－f(x＋)的單調遞增區間．
【解】 (1)由題設影象知，週期t＝2(－)＝π，
所以ω＝＝2.
因為點(，0)在函式影象上，所以asin(2×＋φ)＝0，
即sin(＋φ)＝0.
又因為0<φ<，
所以<＋φ<.
從而＋φ＝π，即φ＝.
又點(0,1)在函式影象上，所以asin＝1，解得a＝2.
故函式f(x)的解析式為f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)g(x)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]
＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝2sin 2x－2(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈z.
所以函式g(x)的單調遞增區間是[kπ－，kπ＋]，k∈z.
20．(本小題滿分12分)(2013·湖南高考)已知函式f(x)＝cos x·cos.
(1)求f的值；
(2)求使f(x)《成立的x的取值集合．
【解】 (1)f＝cos·cos
＝－cos·cos
＝－2＝－.
(2)f(x)＝cos xcos
＝cos x·
＝cos2 x＋sin xcos x
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝cos＋.
f(x)《等價於cos＋<，
即cos<0.
於是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈z.解得kπ＋故使f(x)《成立的x的取值集合為
．因為f(x)＝
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x－cos 2x－1
＝sin(2x－)－1，
所以f(x)的最小正週期t＝＝π.
(2)函式y＝sin x的單調遞增區間為[2kπ－，2kπ＋](k∈z)．
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一 圓柱是由矩形旋轉得到，圓錐是由直角三角形旋轉得到，圓台是由直角梯形旋轉得到，球是由半圓旋轉得到.二 中心投影的投影線相交於一點，平行投影的投影線互相平行.三 圓柱的正檢視和側檢視都是矩形，俯檢視是圓 圓錐的正檢視和側檢視都是等腰三角形，俯檢視是圓和圓心 圓台的正檢視和側檢視都是等腰梯形，俯檢視是...
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高中數學必修四知識點
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