中國礦業大學2010級《高等數學》（下）期中試卷參考解答（考試時間 120分鐘）
一（10分）設有連續偏導數，分別由方程和
所確定，求。
解4分6分
二（10分）設函式在點(1,1)處可微，且，求。解：，1分
三（10分）求曲面垂直於直線的切平面方程。
解：直線方向向量 , 2分
切平面法向量 ，由得，切點為4分切平面方程為 ，即4分
四（10分）求曲面和所圍閉區域的體積.
解： 方法一 .
或方法二4分
6分五（10分）求，其中d是由圓和所圍成的平面區域(如圖).
解：令，
由對稱性，. 2分
2分. 3分
3分六（10分）求面密度為常數的錐面（）對軸的轉動慣量。
解3分曲面，
7分七（10分）求函式在閉區域上的最大值和最小值。
解：由得d內駐點2分
在邊界上：，最大值為4，最小值為03分
在邊界上：，
駐點：，區間端點： 3分
比較以上各點函式值可得2分
八（10分）計算積分，其中為圓周（按逆時針方向）．解2分（1）故當時， 在所圍的區域內有連續偏導，滿足格林公式條件。 3分
（2）當時，構造曲線（取得足夠小保證含在所圍區域）方向為逆時針，即。故即5分
九（10分）計算曲面積分，其中為有向曲面
方向取上側。
解：作輔助面，方向取下側。
3分7分
十（10分）設函式，其中連續，問：
（1）應滿足什麼條件，才能使偏導數，存在。
（2）在上述條件下，在點處是否可微？
解：(1) 因為，且連續，所以
， 要使存在，必須，即得。
同理，要使存在，也必須，所以，當時，
在(0,0)的偏導數存在，且5分
(2) 因為
在上述條件下，有 ，
且所以， ，即在（0,0）處可微。 5分中國礦業大學2010級《高等數學》（下）期中試卷一（10分）設有連續偏導數，分別由方程和
所確定，求。
二（10分）設函式在點(1,1)處可微，且，求。三（10分）求曲面垂直於直線的切平面方程。
四（10分）求曲面和所圍閉區域的體積.
五（10分）求，其中d是由圓和所圍成的平面區域(如圖).
六（10分）求面密度為常數的錐面（）對軸的轉動慣量。
七（10分）求函式在閉區域上的最大值和最小值。
八（10分）計算積分，其中為圓周（按逆時針方向）．九（10分）計算曲面積分，其中為有向曲面
方向取上側。
十（10分）設函式，其中連續，問：
（1）應滿足什麼條件，才能使偏導數，存在。
（2）在上述條件下，在點處是否可微？
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