一．幾何概型的定義
1．定義：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.
2．特點：
（1）無限性，即一次試驗中，所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；
（2）等可能性，即每個基本事件發生的可能性均相等.
3．計算公式：
說明：用幾何概率公式計算概率時，關鍵是構造出隨機事件所對應的幾何圖形，並對幾何圖形進行度量.
4．古典概型和幾何概型的區別和聯絡：
（1）聯絡：每個基本事件發生的都是等可能的.
（2）區別：①古典概型的基本事件是有限的，幾何概型的基本事件是無限的；
②兩種概型的概率計算公式的含義不同.
二．常見題型
（一）、與長度有關的幾何概型
例1、在區間上隨機取乙個數，的值介於到之間的概率為
a. b. c. d.
例2、 如圖,a,b兩盞路燈之間長度是30公尺，由於光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈c,d,問a與c,b與d之間的距離都不小於10公尺的概率是多少？
例3、在半徑為r的圓內畫平行弦，如果這些弦與垂直於弦的直徑的交點在該直徑上的位置是等可能的，求任意畫的弦的長度不小於r的概率。
例4、 在長為12cm的線段ab上任取一點m，並以線段am為邊作正方形，求這個正方形的面積介於36cm2與81cm2之間的概率．
練習：2、已知地鐵列車每10 min一班，在車站停1 min，則乘客到達站台立即乘上車的概率是( )
abcd.
3、已知集合a，在集合a中任取乙個元素x ，則事件「x∈a∩b」的概率是
________．
4、 小趙欲在國慶六十周年之後從某車站乘車外出考察，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求小趙等車時間不多於10分鐘的概率．
（二）、與面積有關的幾何概型
例1、為長方形，，為的中點，在長方形內隨機取一點，取到的點到的距離大於1的概率為（ ）
abcd
例2、 如圖，射箭比賽的箭靶塗有五個彩色的分環．從外向內依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫「黃心」．奧運會的比賽靶面直徑為122 cm,靶心直徑為12.2 cm.運動員在70 m外射箭．假設運動員射的箭都能中靶，且射中靶面內任一點都是等可能的，那麼射中黃心的概率為多少？
例3、在平面直角座標系中，設d是橫座標與縱座標的絕對值均不大於2的點構成的區域，e是到原點的距離不大於1的點構成的區域，向d中隨意投一點，則落入e中的概率為
例4、在三角形abc中任取一點p，證明：△abp與△abc的面積之比大於的概率為。
例5、將長為l的木棒隨機的折成3段，求3段構成三角形的概率．
例6、已知函式f(x)＝－x2＋ax－b.若a、b都是從區間[0,4]任取的乙個數，則f(1)＞0成立的概率是________．
練習1、abcd為長方形，ab＝2，bc＝1，o為ab的中點．在長方形abcd內隨機取一點，取到的點到o的距離大於1的概率為
ab．1cd．1－
2、設－1≤a≤1，－1≤b≤1，則關於x的方程x2＋ax＋b2＝0有實根的概率是 ( )
abcd.
3、已知ω＝，a＝，若向區域ω上隨機投一點p，則點p落入區域a的概率為
abcd.
4、在區域內任取一點p，則點p落在單位圓x2＋y2＝1內的概率為( )
abcd.
5、在邊長為2的正三角形abc內任取一點p，則使點p到三個頂點的距離至少有乙個小於1的概率是________．
6、在區間[0,1]上任意取兩個實數a，b，則函式f(x)＝x3＋ax－b在區間[－1,1]上有且僅有乙個零點的概率為________．
7、已知函式f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈r.
(1)若a從集合中任取乙個元素，b從集合中任取乙個元素，求方程f(x)＝0有兩個不相等實根的概率；
(2)若a從區間[0,2]中任取乙個數，b從區間[0,3]中任取乙個數，求方程f(x)＝0沒有實根的概率．
（三）、與角度有關的幾何概型
例1、在圓心角為90°的扇形中，以圓心為起點做射線，求使得和都不小於30°的概率？
例2、如圖所示，在等腰直角中，過直角頂點在內部做一條射線，與線段交於點，求的概率。
例3、在等腰rt△abc中，c=900，在直角邊bc上任取一點m，求的概率
（四）、與體積有關的幾何概型
例1、在5公升水中有乙個病毒，現從中隨機地取出1公升水，含有病毒的概率是多大？
例2、任取三條不大於a的線段，求這三條線段能夠成乙個三角形的概率。
例3、在區間[0,l]上任取三個實數事件a=
(1)構造出隨機事件a對應的幾何圖形；
（2)利用該圖形求事件a的概率.
（五）、會面問題中的概率
例1、 某碼頭接到通知，甲、乙兩艘外輪都會在某天9點到10點之間的某一時刻到達該碼頭的同乙個泊位，早到的外輪要在該泊位停靠20分鐘辦理完手續後才離開，求兩艘外輪至少有一艘在停靠泊位時必須等待的概率。
例2、兩人約定在20：00到21：00之間相見，並且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發是各自獨立的，在20：
00到21：00各時刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時間內相見的概率．
（六）、與線性規劃有關的幾何概型
例1、小明家的晚報在下午5：30～6：30之間的任何乙個時間隨機地被送到，小明一家在下午6：
00～7：00之間的任何乙個時間隨機地開始晚餐.那麼晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？
（七）、生活中的幾何概型
例1、 某人欲從某車站乘車出差，已知該站發往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多於10分鐘的概率．
例2、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求乙個乘客到達車站後候車時間大於10 分鐘的概率？
例3、假設題設條件不變，求候車時間不超過10分鐘的概率.
例4、某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，並且出發前在車站停靠3分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求乙個乘客到達車站後候車時間大於10 分鐘的概率？
例5、平面上畫有一組平行線，其間隔交替為1.5cm和10cm，任意地往平面上投一半徑為2cm的圓，求此圓不與平行線相交的概率。
例6、《廣告法》對插播廣告的時間有一定的規定，某人對某台的電視節目做了長期的統計後得出結論，他任意時間開啟電視機看該台節目，看不到廣告的概率為，那麼該台每小時約有________分鐘的廣告．
例8、兩對講機持有者張
三、李四，為卡爾貨運公司工作，他們對講機的接收範圍是25km，下午3：00張三在基地正東30km內部處，向基地行駛，李四在基地正北40km內部處，向基地行駛，試問下午3：00，他們可以交談的概率。
例9、某勘探隊勘測到，在1萬平方千公尺的海域中有40平方千公尺的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鑽探，鑽到油層面的概率是多少？
例10、乙隻海豚在水池中遊弋，水池為長，寬的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過的概率．
練習1、平面上有一組平行線且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意平擲在這個平面，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是
abcd.
2、在平面直角座標系xoy中，設d是橫座標與縱座標的絕對值均不大於2的點構成的區域，e是到原點的距離不大於1的點構成的區域，向d中隨機投一點，則所投的點落在e中的概率是
3、甲、乙兩艘輪船都要停靠在同乙個泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達．甲、乙兩船停靠泊位的時間分別為4小時與2小時，求有一艘船停靠泊位時必需等待一段時間的概率．
幾何概型練習
一、選擇題
1．從一批羽毛球產品中任取乙個，其質量小於4.8g的概率為0.3，質量小於4.
85g的概率為0.32，那麼質量在[4.8，4.
85]（g）範圍內的概率是（ ）
a．0.62b．0.38c．0.02d．0.68
2．在長為10 cm的線段ab上任取一點p，並以線段ap為邊作正方形，這個正方形的面積介於25 cm2與49 cm2之間的概率為（ ）
abcd．
3．同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤甲得到的數為x，轉盤乙得到的數為y，構成數對（x，y），則所有數對（x，y）中滿足xy＝4的概率為（ ）
abcd．
4．如圖，是由乙個圓、乙個三角形和乙個長方形構成的組合體，現用紅、藍兩種顏色為其塗色，每個圖形只能塗一種顏色，則三個形狀顏色不全相同的概率為（ ）
abcd．
5．兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去．則求兩人會面的概率為（ ）
剖析幾何概型的五類重要題型
1.幾何概型的兩個特徵 1 試驗結果有無限多 2 每個結果的出現是等可能的 2.解決幾何概型的求概率問題 3.用幾何概型解簡單試驗問題的方法 1 適當選擇觀察角度，把問題轉化為幾何概型求解 2 把基本事件轉化為與之對應的總體區域d.3 把隨機事件a轉化為與之對應的子區域d.4 利用幾何概型概率公式計...
2 1整式的有關概念教材詳解及典例分析
說明 代數式書寫時需注意 1 數與字母 字母與字母相乘時乘號省略不寫，數字要寫在字母前面，如 數字因數是1或 1時，1 省略不寫，如 mn 2 帶分數與字母相乘時要化成假分數，如 要寫成的形式 3 除號要改寫成分數線，如 a b要寫成 4 書寫單位時要把代數式用括號括起來，如 平方公尺。代數式的係數...
例說二項式定理的常見題型及解法
二項式定理的問題相對較獨立，題型繁多，解法靈活且比較難掌握。二項式定理既是排列組合的直接應用，又與概率理論中的三大概率分布之一的二項分布有著密切聯絡。二項式定理在每年的高考中基本上都有考到，題型多為選擇題，填空題，偶爾也會有大題出現。本文將針對高考試題中常見的二項式定理題目型別一一分析如下，希望能夠...