第二十五章灰色系統理論及其應用
客觀世界的很多實際問題，其內部的結構、引數以及特徵並未全部被人們了解，人們不可能象研究白箱問題那樣將其內部機理研究清楚，只能依據某種思維邏輯與推斷來構造模型。對這類部分資訊已知而部分資訊未知的系統，我們稱之為灰色系統。本章介紹的方法是從灰色系統的本徵灰色出發，研究在資訊大量缺乏或紊亂的情況下，如何對實際問題進行分析和解決。
§1 灰色系統概論
客觀世界在不斷發展變化的同時，往往通過事物之間及因素之間相互制約、相互聯絡而構成乙個整體，我們稱之為系統。按事物內涵的不同，人們已建立了工程技術系統、社會系統、經濟系統等。人們試圖對各種系統所外露出的一些特徵進行分析，從而弄清楚系統內部的執行機理。
從資訊的完備性與模型的構建上看，工程技術等系統具有較充足的資訊量，其發展變化規律明顯，定量描述較方便，結構與引數較具體，人們稱之為白色系統；對另一類系統諸如社會系統、農業系統、生態系統等，人們無法建立客觀的物理原型，其作用原理亦不明確，內部因素難以辨識或之間關係隱蔽，人們很難準確了解這類系統的行為特徵，因此對其定量描述難度較大，帶來建立模型的困難。這類系統內部特性部分已知的系統稱之為灰色系統。乙個系統的內部特性全部未知，則稱之為黑色系統。
區別白色系統與灰色系統的重要標誌是系統內各因素之間是否具有確定的關係。運動學中物體運動的速度、加速度與其所受到的外力有關，其關係可用牛頓定律以明確的定量來闡明，因此，物體的運動便是乙個白色系統。
當然，白、灰、黑是相對於一定的認識層次而言的，因而具有相對性。某人有一天去他朋友家做客，發現當外面的汽車開過來時，他朋友家的狗就躲到屋角裡瑟瑟發抖。他對此莫名其妙。
但對他朋友來講，狗的這種行為是可以理解的，因為他知道，狗在前不久曾被汽車撞傷過。顯然，同樣對於「狗的懼怕行為」，客人因不知內情而面臨乙個黑箱，而主人則面臨乙個灰箱。
作為實際問題，灰色系統在大千世界中是大量存在的，絕對的白色或黑色系統是很少的。隨著人類認識的進步及對掌握現實世界的要求的公升級，人們對社會、經濟等問題的研究往往已不滿足於定性分析。儘管當代科技日新月異，發展迅速，但人們對自然界的認識仍然是膚淺的。
糧食作物的生產是乙個實際的關係到人們吃飯的大問題，但同時，它又是乙個抽象的灰色系統。肥料、種子、農藥、氣象、土壤、勞力、水利、耕作及政策等皆是影響生產的因素，但又難以確定影響生產的確定因素，更難確定這些因素與糧食產量的定量關係。人們只能在一定的假設條件（往往是一些經驗及常識）下按照某種邏輯推理演繹而得到模型。
這種模型並非是糧食作物生產問題在理論認識上的「翻版」，而只能看作是人們在認識上對實際問題的一種「反映」或「逼近」。
社會、經濟、農業以及生態系統一般都會有不可忽略的「雜訊」（即隨機干擾）。現有的研究經常被「雜訊」汙染。受隨機干擾侵蝕的系統理論主要立足於概率統計。
通過統計規律、概率分布對事物的發展進行**，對事物的處置進行決策。現有的系統分析的量化方法，大都是數理統計法如回歸分析、方差分析、主成分分析等，回歸分析是應用廣泛的一種辦法。但回歸分析要求大樣本，只有通過大量的資料才能得到量化的規律，這對很多無法得到或一時缺乏資料的實際問題的解決帶來困難。
回歸分析還要求樣本有較好的分布規律，而很多實際情形並非如此。例如，我國建國以來經濟方面有幾次大起大落，難以滿足樣本有較規律的分布要求。因此，有了大量的資料也不一定能得到統計規律，甚至即使得到了統計規律，也並非任何情況都可以分析。
另外，回歸分析不能分析因素間動態的關聯程度，即使是靜態，其精度也不高，且常常出現反常現象。
灰色系統理論提出了一種新的分析方法—關聯度分析方法，即根據因素之間發展態勢的相似或相異程度來衡量因素間關聯的程度，它揭示了事物動態關聯的特徵與程度。由於以發展態勢為立足點，因此對樣本量的多少沒有過分的要求，也不需要典型的分布規律，計算量少到甚至可用手算，且不致出現關聯度的量化結果與定性分析不一致的情況。這種方法已應用到農業經濟、水利、巨集觀經濟等各方面，都取得了較好的效果。
灰色系統理論建模的主要任務是根據具體灰色系統的行為特徵資料，充分開發並利用不多的資料中的顯資訊和隱資訊，尋找因素間或因素本身的數學關係。通常的辦法是採用離散模型，建立乙個按時間作逐段分析的模型。但是，離散模型只能對客觀系統的發展做短期分析，適應不了從現在起做較長遠的分析、規劃、決策的要求。
儘管連續系統的離散近似模型對許多任務程應用來講是有用的，但在某些研究領域中，人們卻常常希望使用微分方程模型。事實上，微分方程的系統描述了我們所希望辨識的系統內部的物理或化學過程的本質。
灰色系統理論首先基於對客觀系統的新的認識。儘管某些系統的資訊不夠充分，但作為系統必然是有特定功能和有序的，只是其內在規律並未充分外露。有些隨機量、無規則的干擾成分以及雜亂無章的資料列，從灰色系統的觀點看，並不認為是不可捉摸的。
相反地，灰色系統理論將隨機量看作是在一定範圍內變化的灰色量，按適當的辦法將原始資料進行處理，將灰色數變換為生成數，從生成數進而得到規律性較強的生成函式。例如，某些系統的資料經處理後呈現出指數規律，這是由於大多數系統都是廣義的能量系統，而指數規律是能量變化的一種規律。灰色系統理論的量化基礎是生成數，從而突破了概率統計的侷限性，使其結果不再是過去依據大量資料得到的經驗性的統計規律，而是現實性的生成律。
這種使灰色系統變得盡量清晰明了的過程被稱為白化。
目前，灰色系統理論已成功地應用於工程控制、經濟管理、未來學研究、生態系統及複雜多變的農業系統中，並取得了可喜的成就。灰色系統理論有可能對社會、經濟等抽象系統進行分析、建模、**、決策和控制，它有可能成為人們認識客觀系統改造客觀系統的乙個新型的理論工具。
§2 關聯分析
大千世界裡的客觀事物往往現象複雜，因素繁多。我們往往需要對系統進行因素分析，這些因素中哪些對系統來講是主要的，哪些是次要的，哪些需要發展，哪些需要抑制，哪些是潛在的，哪些是明顯的。一般來講，這些都是我們極為關心的問題。
事實上，因素間關聯性如何、關聯程度如何量化等問題是系統分析的關鍵和起點。
因素分析的基本方法過去主要採取回歸分析等辦法。正如前一節指出的，回歸分析的辦法有很多欠缺，如要求大量資料、計算量大及可能出現反常情況等。為克服以上弊病，本節採用關聯度分析的辦法來做系統分析。
作為乙個發展變化的系統，關聯分析實際上是動態過程發展態勢的量化比較分析。
所謂發展態勢比較，也就是系統各時期有關統計資料的幾何關係的比較。
例如，某地區 1977～1983 年總收入與養豬、養兔收入資料見表 1。
表 1 收入資料
根據表 1，做曲線圖 1。
圖 1 收入資料圖
由上圖易看出，曲線 a（總收入）與曲線 b（養豬收入）發展趨勢比較接近，而與曲線 c（養兔收入）相差較大，因此可以判斷，該地區對總收入影響較直接的是養豬業，而不是養兔業。
很顯然，幾何形狀越接近，關聯程度也就越大。當然，直觀分析對於稍微複雜些
的問題則顯得難於進行。因此，需要給出一種計算方法來衡量因素間關聯程度的大小。
2.1 資料變換技術
為保證建模的質量與系統分析的正確結果，對收集來的原始資料必須進行資料變換和處理，使其消除量綱和具有可比性。
定義1 設有序列
x = (x(1),x(2), ,x(n))
則稱對映
f : x → y
f (x(k)) = y(k), k =1,2, ,n
為序列x到序列 y 的資料變換。
1） 當
x(k)
f (x(ky(k), x(1) ≠ 0 x(1)
稱 f 是初值化變換。
2） 當
x(k) 1 n x(k) f (x(k)) = x = y(k), x = n k∑=1
稱 f 是均值化變換。
3） 當
x k( )
f ( ( ))x k = = y k( ) max ( )x k
k 稱 f 是百分比變換。
4） 當
k稱 f 是倍數變換。
5） 當
x(k)
f (x(ky(k)
x0其中 x0 為大於零的某個值，稱 f 是歸一化變換。
6） 當
x(k) min x(k)
f (x(k)) = k = y(k) max x(k)
k稱 f 是極差大值化變換。
7） 當
x(k) min x(k)
f (x(k)) = k = y(k)
max x(k) min x(k)
k k
稱 f 是區間值化變換。
2.2 關聯分析
定義 2 選取參考數列
x0 == (x0 (1),x0 (2), ,x0 (n)) 其中k 表示時刻。假設有m 個比較數列
xi == (xi (1),xi (2), , xi (n))，i =1,2, ,m 則稱
minmin x0 (t) xs (t) +ρmaxmax x0 (t) xs (t)
ξi (k) = s t s t1）
x0 (k) xi (k) +ρmaxmax x0 (t) xs (t)
為比較數列 xi 對參考數列 x0 在k 時係數，其中ρ∈[0,1]為分辨係數。稱（1）式中minminx0 (t) xs (t) 、maxmax x0 (t) xs (t) 分別為兩級小差及兩級大差。 s ts t 一般來講，分辨係數ρ越大，解析度越大；ρ越小，解析度越小。
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