§17.2 放射性廢物的處理問題
[學習目標]
1. 能建立放射性廢物的處理問題的數學模型；
2. 會求解放射性廢物的處理問題的數學模型；
3. 能用放射性廢物的處理問題的數學模型解決一些實際問題。
環境汙染是人類面臨的一大公害，放射性汙染對人類生命安全和地球上生物的生存有嚴重的威脅，所以特別為人們所關注。和平利用原子能，為人類造福不淺，但是核廢物處置不好，又將對人類是一大危害。核廢物如何處置為好，必須進行科學論證。
曾經有一段時間，美國原子能委員會為了處理濃縮的放射性廢物，他們把廢物裝入密封的圓桶，然後扔到水深為91.5m 的海浬。一些生態學家和科學家為此表示示擔心，圓桶是否會在運輸過程中破裂而造成放射性汙染？
美國原子能委員會向他們保證:：「圓桶絕不會破裂」。並作了許多種試驗證明他們的說法是正確的。
然而又有幾位工程師提出了如下的問題：圓桶扔到海洋中時是否會因與海底碰撞而發生破裂？美國原子委員會仍保證說：
「決不會」。這幾個工程師進行了大量的實驗以後發現：當圓桶的速度超過12.
2m/s，就會因碰撞而破裂。下面我們計算圓桶同海底碰撞時的速度，是否會超過12.2m/s？
如圖17.6選取座標系，記w表示圓桶重量，使圓桶向下，w＝239.46kg，w=mg，m表示質量，g表示重力加速度，g=9.8m/s。
b表示水作用在圓桶上的浮力，推園桶向上。原子能委員會使用的是250.25l的圓桶，體積為0.
208m，1m海水重量為1026.52kg，所以b=1026.52×0.
208=213.5kg。
d表示水作用在圓桶上的阻力，它阻礙圓桶在水中的運動，與物體運動方向相反，通常與速度v成正比．d = cv，c>0為常數．通過大量實驗得出如下結論：圓桶方位對於阻力影響甚小，可以忽略不計．且d=0.119kg·s/m．則作用
在圓桶上的力為
f = w-b-cv
由牛頓第二定律：物體的加速度同作用在它上面的合
力f成正比，即f = m a．而。所以得：
(1)這是二階常微分方程，作代換
則(1)式變為
2)這是初值為零的一階線性非齊次微分方程，其解為
3) 由(3)式知，圓桶的速度為時間t的函式，要確定圓桶同海底的碰撞速度，就必須算出圓桶碰到海底所需的時間t。遺憾的是，不可能作為y的顯函式求出t，所以不能用方程(3)來求圓桶同海底的碰撞速度。但從方程(3)可以得到圓桶的極限速度，當時， 。
顯然有，如果極限速度小於12.2m/s，那麼圓桶就不可能因同海底碰撞而破裂。然而
這個數值太大了，還不能斷定v(t)究竟是否能超過12.2m/s。
下面轉而把速度v作為位置y的函式v(y)來考慮：
我們有，由復合函式微分法，
代入(1)式中，得
顯然初始條件為v(0)=0。
為了得到速度v與位置y之間的乙個關係式，採用如下方法
而左端前面已討論(w－b)/c是極限速度，v < (w－b)/c，因而w－b－cv > 0，於是
4) 算到這裡，又使我們失望，因為不能從(4)式中解出v是y的顯函式來，因此要利用v(y)來計算v (91.5) > 12.2 m/s是不可能的了。
但利用微分方程數值解法，借助於計算機很容易解得v (91.5) = 13.75 m/s．
另外，我們還可以用其它的方法得到v (91.5) 的乙個很好的近似值。
圓桶的速度v(y) 滿足初值問題
5) 在(17.17)中令c=0 (即不考慮水的阻力)，並用u代替v，以示區別，得
6) 直接積分(6)，得
或由此可得
u (91.5) 就是v (91.5) 的乙個很好的近似值，其理由是：
(1)當不存在與運動方向相反的阻力時，圓桶的速度總會大一些，因此v(91.5) (2)當y增加時，速度v增加，所以對於y91.5，有v (y) v (91.
5)．由此可以得出水作用在圓桶上的阻力d總是小於0.119×u (91.5) 1.
66kg。
然而使圓桶向下的合力( w－b )近似為25.9kg，比d大得多，因而忽略d無關大局。所以可以認為u(y)是v(y)的乙個很好的近似值。
實際上正是如此，用數值解法算出的v(91.5)=13.75m/s與u (91.
5) =13.94m/s是比較接近的。因而得出：
圓桶能夠因與海底碰撞而破裂，工程師們的說法是正確的。
這一模型科學地論證了美國原子能委員會過去處理核廢料的方法是錯誤的，從而改變了美國**過去的錯誤作法。現在美國原子能委員會條例明確禁止把低濃度的放射性廢物拋到海浬，改為在一些廢棄的煤礦中修建放置核廢料的深井。這一模型為全世界其他國家處理核廢料提供了經驗教訓。
我國**決定在甘肅、廣西等地修建三個深井放置核廢料，防止放射性汙染。
習題17.2
1． 兔從原點出發以速度a沿y軸往上跑，同時有狗從（c,0）點出發以速度b 追兔．求狗追兔的路線．又設a 2． 驅逐艦在濃霧中搜尋潛水艇，霧一度散開，其時發現潛艇在3英里外的海面上，但潛艇立即下潛．驅逐艦速度二倍於潛艇，且已知潛艇下潛後立即以全速朝某一未知方向直線行進．問驅逐艦應採取什麼路線才能保證它會直接開過潛艇的上方？（提示：取極座標，以發現潛水艇處作為原點）．
3． 把重200kg體積為4的球體和重150kg 體積為圓柱體同時放到河裡，初速度為零，水作用在下沉的球體和圓柱體上的阻力分別為和,其中和是球體和圓柱體的速度，是正的常數，試確定哪乙個物體先到達水底．
4． 傘兵由靜止狀態向地面降落，人和降落傘共重161磅，在降落傘張開以前，空氣阻力等於，在開始降落s秒後降落傘張開，這時空氣阻力是/2，試求降落傘張開後傘兵的速度ｖ(t)．
5． 在放射性廢物的處理模型中，為了證明v(91.5)超過12.2m/s，實際上並不需要用顯式求出v(y)，能用其他方法證明在海底91.
5m處圓桶能因碰撞而破裂嗎？請讀者想乙個簡單而有效的方法．
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目錄第一章前言 1 第二章測區概況 2 2.1地理位置 2 2.2 地質地貌概況 2 2.3 放射性背景值 2 第三章儀器裝置 3 3.1 微機四道能譜儀 3 3.2 鐳a測氡儀 fd 3017 4 3.3 x 劑量率儀 ckl 3120 4 第四章剖面設計 5 4.1 工作任務 5 4.2 測網設...
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