第八章矩陣位移法
一、基本內容及學習要求
本章內容包括：矩陣位移法的解題思路，單元剛度矩陣及其座標變換，直接剛度法(先處理)，等效結點荷載以及矩陣位移法應用中的問題。要求會用矩陣位移法計算結構的位移和內力。
通過本章的學習應達到：
(1)掌握矩陣位移法的解題思路和步驟，了解矩陣位移法與位移法的內在聯絡。
(2)建立單元座標系下的單元剛度矩陣，明確單元剛度矩陣的特性及矩陣元素的物理概念。
(3)弄清座標變換的含義，形成結構座標系下的單元剛度矩陣。
(4)借助定位向量，熟練應用直接剛度法(先處理)形成結構剛度矩陣。
(5)計算綜合結點荷載。
(6)利用結構剛度方程求解結點位移進而計算杆端內力。
二、學習指導
(一)矩陣位移法的解題思路與步驟
矩陣位移法與位移法的解題思路基本相同，兩者的差異僅在於前者從機算考慮，採用矩陣使公式規格化，以適應程式設計的要求，故解題步驟和處理方法都有所不同。為使讀者抓住學習要領，現用簡例扼要說明兩者間的關係。
圖8．1所示三跨連續梁承受結點集中力偶作用。用位移法求解時若將其轉化為三根兩端固定梁，按以下步驟直接建立位移法方程。
(1)把三根梁作為三個單元，利用轉角位移方程將其杆端彎矩表示成杆端位移的函式
矩陣位移法和位移法兩者比較，求解過程基本相同，關鍵不同之處在於矩陣位移法利用了k的組合特性，解算時繞過平衡條件直接建立結構剛度矩陣。下面對此作簡要說明，使讀者有大致的了解。
位移法通過單元剛度方程，利用平衡條件建立位移法方程，其係數由各單元剛度方程的係數組合而成。矩陣位移法則借助各單元剛度矩陣的元素直接形成結構剛度矩陣，只要把單元剛度矩陣的元素按其附標放到結構剛度矩陣的相應位置(有一方附標為零或兩方附標均為零的元素不進入)，再將同一位置的元素相加即可，故又稱直接剛度法。這一過程歸納為「對號入座、同位相加」，本題按此即得
讀者把k的建立過程與式(g)對照，不難發現二者的共同之處，其差別僅在於位移法的處理較為直觀，矩陣位移法更加直接卻稍嫌繁瑣，以分別適應手算和機算的要求。讀者了解這些特點，會使學習思路更加清晰。
(二)單元剛度矩陣
應用矩陣位移法必須首先進行單元分析，建立單元杆端力與杆端位移間的關係(單元剛度方程)，其目的是找到單元杆端力與杆端位移間的轉換矩陣——單元剛度矩陣(以下簡稱「單剛」)。單剛的形式和元素與所取座標系關係密切，矩陣位移法將分別用到以兩種座標系(單元座標系和結構座標系)表示的單剛，教材§9—2、§9—4分別對其物理意義及建立方法作了詳細論述，下面重點說明幾個問題。
1．單元座標系下的單剛
(3)單剛的兩個重要性質分別是：主對角線兩側對稱位置上的元素相等(可由力的互等定理推出)，單剛是對稱方陣；與單剛相應的行列式｜kc｜=0，說明單剛是不存在逆矩陣的奇異矩陣，即可用式(9—3)由杆端位移求杆端力，但不能用它從杆端力反求杆端位移。
(4)不同型別的單元有形式不同的單剛。教材式(9—5)所示單剛對應兩端剛結且三個方向均可發生位移的自由式單元，故稱為自由式單元的單剛。式(9—6)則為兩端無線位移單元的單剛。
不考慮單元軸向變形，即不計杆端軸向位移對杆端力的影響時，軸向力不能由單元剛度方程求得，由圖9—3b、c、e、f四種情況疊加，推得受彎直杆忽略軸向變形單元的單剛為
式(8．1)也可由自由式單元單剛同時刪去第
一、四行及第
一、四列獲得。注意到位移法中等截面直杆的轉角位移方程也忽略軸向變形，故式(8．1)與教材式(5—3)、(5—4)的係數矩陣相同(只是杆端位移及桿端力正負號的規定有所不同)。
當只考慮軸向杆端位移和杆端力(如桁架單元)時，由圖9—3a、d可得只考慮軸向變形的軸力單元單剛為
式(8．2)也可從自由式單元的單剛同時刪去第
二、三、五、六行及第
二、三、五、六列得到。上述單剛同樣具有自由式單元單剛的兩個重要性質。
(5)單剛形式與杆端位移(杆端力)分量的排列順序密切相關，若調換某兩個杆端位移(杆端力)的順序，則單剛中元素的位置也會相應改變，讀者務必注意。
2．結構座標系下的單剛
(1)結構座標系又稱整體座標系。一般情況下，由於結構杆軸方向各不相同，故各單元的單元座標系也不統一。如教材圖9—9a所示剛架三個單元的單元座標系均不相同(圖9—9b)，造成匯交同一結點不同單元的杆端位移和杆端力方向不一致，不便考慮結點的變形協調條件和靜力平衡條件。
為解決這一矛盾，只有通過座標變換把所有用單元座標系表示的杆端位移和杆端力，統一轉換到按右手螺旋法則確定的oxy結構座標系才便於求解。單元的杆端位移和杆端力是客觀存在的，座標變換只是用不同的分量來表示而已，如同乙個力總可以分解為若干組不同的分力一樣。
(三)直接剛度法(先處理)的解題要點
應用直接剛度法時，按支承條件的處理方式分為先處理和後處理兩種。先處理方式是本章重點，讀者應全面掌握。前面介紹過的矩陣位移法解題思路即屬先處理，其具體做法是：
(1)以結點獨立位移為基本未知量，建立結點位移列向量△。對結構位移依次編號時應注意剛結點有3個、鉸結點有2個結點位移，已約束的結點位移不再編號。忽略受彎桿件軸向變形(引用軸向剛度條件)時，該單元兩端的軸向位移編號相同。
(2)建立與結點獨立位移相應的結點荷載列向量fp(不包含位移被約束方向的結點力)。單元承受非結點荷載時，應將其化為等效結點荷載計算。
(3)寫出單元在結構座標系下的單剛ke。根據變形協調和位移邊界條件，利用單元定位向量λe將單元的區域性位移碼換成整體位移碼(換碼)。將單剛元素按整體位移碼「對號入座」輸送到結構剛度矩陣k的相應位置。
(4)對所有單元依次重複步驟(3)，再將結構剛度矩陣中同一位置的單剛元素實行「同位相加」，最終形成結構剛度矩陣，其階數與結點獨立位移個數相同。
(5)求解結構剛度方程或由△=k-1f，計算結點獨立位移列向量△。
(6)利用定位向量從△中取出相應的單元杆端位移，由各單元剛度方程分別計算其杆端力。非結點荷載作用下的單元還要疊加單元固端力。
計算忽略桿件軸向變形的連續梁和剛架時，先處理方式的解題思路與位移法更為接近。本章在學習指導中按先處理介紹矩陣位移法的思路與步驟，正是由於兩者互通，便於對照。
結構力學 矩陣位移法習題
第七章矩陣位移法 一 是非題 1 單元剛度矩陣反映了該單元杆端位移與杆端力之間的關係。2 單元剛度矩陣均具有對稱性和奇異性。3 區域性座標系與整體座標系之間的座標變換矩陣t是正交矩陣。4 結構剛度矩陣反映了結構結點位移與荷載之間的關係。5 用矩陣位移法計算連續梁時無需對單元剛度矩陣作座標變換。6 結...
《結構力學習題集》8 矩陣位移法
第七章矩陣位移法 一 是非題 1 單元剛度矩陣反映了該單元杆端位移與杆端力之間的關係。2 單元剛度矩陣均具有對稱性和奇異性。3 區域性座標系與整體座標系之間的座標變換矩陣t是正交矩陣。4 結構剛度矩陣反映了結構結點位移與荷載之間的關係。5 用矩陣位移法計算連續梁時無需對單元剛度矩陣作座標變換。6 結...
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