第一章集合與函式概念
★ 集合
一、集合的有關概念
（一）集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合。
其中每乙個物件叫元素。
（二）集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性。
說明：(1)對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
（三）集合的表示： 如，
1. 用大寫拉丁字母表示集合：如a=,b=
用小寫拉丁字母表示元素：如a,b,c,…
其中：關於「屬於」的概念：
若a是集合a的元素，就說a屬於集合a ，記作 aa ；
若a不是集合a的元素，則a不屬於集合a ，記作 aa。
2．集合的表示方法：列舉法與描述法。
注意：常用數集及其記法：
非負整數集（即自然數集）記作：n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
（四）集合的分類：
1．有限集： 含有有限個元素的集合。
2．無限集： 含有無限個元素的集合。
3．空集： 不含任何元素的集合。 例：
課堂練習：
1. 給出一下每組物件，能構成集合的個數為（ ）
（1）美麗的小鳥；（2）到一定點距離等於定長的點；
（3）美國nba的著名籃球明星；（4）所有絕對值等於6的數；
（5）2023年參加奧運會的中國代表團成員；（6）與2接近的全體實數。
a．2 b．3 c．4 d．5
2. 有以下四個命題：
①「所有相當小的正數」組成乙個集合；
②由1，2，3，1，9組成的集合用列舉法表示；
③與表示同乙個集合；
④表示函式影象上所有點的集合。其中正確的是（ ）
a、①③ b、①②③ c、③ d、③④
3．下列集合中，表示方程組的解集的是 （ ）
a． b． c． d．
4．已知集合，則等於（ ）
a． b． c． d．
5. 用符號「」或「」填空：
（1） 0____，a____，____q，－1_____r，0 ；
（2）若a=，則2_____a，5______a；
（3）若b=，則-1_____b，2______b。
6. 用兩種不同的方法表示下列集合：
（1）方程的所有實數根組成的集合；
（2）一次函式與的圖象的交點組成的集合.
7．設集合 ，試用列舉法表示集合a.
變式：以下三個集合有什麼區別.
（1）；（2）；（3）.
8. 設x∈r，集合.
（1）求元素x所應滿足的條件；
（2）若，求實數x.
9. 若集合，集合，且，求實數a、b.
課後作業：
1．下面給出的四類物件中，構成集合的是（ ）
a．某班個子較高的同學 b．長壽的人
c．的近似值 d．倒數等於它本身的數
2．下面四個命題正確的是（ ）
a．10以內的質數集合是
b．由1，2，3組成的集合可表示為或
c．方程的解集是
d．0與表示同乙個集合
3． 下面四個命題： （1）集合n中最小的數是1； （2）若 -az，則az；
（3）所有的正實數組成集合r+；（4）由很小的數可組成集合a；
其中正確的命題有（ ）個
a．1b．2 c．3 d．4
4．下面四個命題： （1）零屬於空集；
（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；
（3）方程x2-6x+9=0的解集是單元集；
（4）不等式 2 x-6>0的解集是無限集；
其中正確的命題有（ ）個
a．1b．2 c．3 d．4
5．由所有偶數組成的集合可表示為
6．用列舉法表示集合d={}為
7．當a滿足時, 集合a＝{}表示單元集．
8．對於集合a＝，若aa，則6－aa，那麼a的值是 。
9．已知集合a=，b=，若a=b,求x的值。
10．已知集合a＝，試用列舉法表示集合a．
11.已知集合a={}.
(1)若a中只有乙個元素,求a的值; (2)若a中至多有乙個元素,求a的取值範圍.
二、集合間的基本關係
子集、相等、真子集、空集的概念.
1. 子集： 如果集合a的任意乙個元素都是集合b的元素，我們說這兩個集合有包含關係，稱集合a是集合b的子集。
符號表示： ，讀作：a包含於b，或b包含a.
venn圖表示：
在數學中，我們經常用平面上封閉曲線的內部代表集合，這種圖稱為venn圖.
用venn圖表示兩個集合間的「包含」關係為：.
注意： 有兩種可能（1）a是b的一部分，；（2）a與b是同一集合。
2. 真子集：若集合，存在元素，則稱集合a是集合b的真子集），符號表示：a b（或b a），讀作：a真包含於b（或b真包含a）.
venn圖表示：
如：a=，b=，此時a b。
又a=，b=，此時b a。
3. 集合相等：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b。
符號表示：。 即：若，則。
venn圖表示：
如：設 a=,b=.
它們「元素相同」。即：a=b.
4. 空集：不含有任何元素的集合稱為空集，記作：.
並規定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
5．子集的性質：
（1） 任何乙個集合是它本身的子集。即：。
（2） 空集是任何乙個集合的子集，是任何非空集合的真子集。
即：a(a).
（3） 如果,那麼。
6. 若集合a中有m個元素，那集合a的子集有個，真子集有（）個，非空真子集有（）個。
課堂練習：
1. 集合與的關係是 （ ）
a、 b、 c、= d、
2．集合的真子集共有（ ）
a、5個 b、6個 c、7個 d、8個
3．滿足的所有集合有 （ ）
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
4. 已知a=，b=，則 （ ）
a、a > b b、a b c、b a d、
5. 設，且，則實數a的取值範圍為（ ）
a. b. c. d.
6. 若，則（ ）
a. b.
c. d.
7. 滿足的集合a有個。
8．用適當的符號填空.
（1（2r
（3）n ，q n； .
9. 判斷下列集合間的關係：
（1）與；
（2）設集合a=，集合，則a與b的關係如何？
10．若集合，，且滿足，求實數的取值範圍.
11. 已知，且，求實數p、q滿足的條件.
課後作業：
1、下列四個命題：
（１）空集沒有子集； （２）空集是任何乙個集合的真子集；
（３）空集的元素個數為零；（４）任何乙個集合必有兩個或兩個以上的子集．
其中正確的有
ａ．0個1個2個3個
2、滿足條件m的集合m的個數是
a、8b、7 c、6d、5
3、若集合，則下列結論中正確的是（ ）
a、a=0 b、 c、 d、
4、下列五個寫法中①，②，③，④，
⑤，錯誤的寫法個數是（ ）
a、1個 b、2個 c、3個 d、4個
5、集合，且m ，則實數a的範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、
6、已知a=，那麼滿足ba的集合b有_______個，滿足cb的集合c有_______個。
7、已知ａ＝｛菱形｝，ｂ＝｛正方形｝，ｃ＝｛平行四邊形｝，那麼ａ，ｂ，ｃ之間的關係是
8、設集合a={},b={},且ab，則實數= 1 。
9、已知a＝｛x｜x＜3，b＝｛x｜x＜a
(1)若ba，則a的取值範圍是
(2)若ab，則a的取值範圍是
10、設a＝， b＝，若ba，求實數a組成的集合。
11、已知a=，b=，,求的取值範圍。
三、集合的運算
1．並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a與b的並集。記作：a∪b(讀作」a並b」)。
符號表示： a∪b=．
venn圖表示：
說明：兩個集合求並集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的所有元素組成的集合（重複元素只看成乙個元素）。
2、交集的定義：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a與b的交集．記作a∩b(讀作」a交b」)，
符號表示：即a∩b=．
venn圖表示：
說明：兩個集合求交集，結果還是乙個集合，是由集合a與b的公共元素組成的集合。
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