複雜電阻網路的處理方法

在物理競賽過程中經常遇到，無法直接用串聯和併聯電路的規律求出整個電路電阻的情況，這樣的電路也就是我們說的複雜電路，複雜電路一般分為有限網路和無限網路。那麼，處理這種複雜電路用什麼方法呢？下面，我就結合自己輔導競賽的經驗談談複雜電路的處理方法。

一：有限電阻網路

原則上講解決複雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自於兩個自然的結論：（1）對電路中任何乙個節點，流出的電流之和等於流入的電流之和。

電路中任何乙個閉合迴路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。

1：對稱性簡化

所謂的對稱性簡化，就是利用網路結構中可能存在的對稱性簡化等效電阻的計算。它的效果是使計算得以簡化，計算最後結果必須根據電阻的串、併聯公式；電流分布法；極限法等來完成。

在乙個複雜的電路中，如果能找到一些完全對稱的點，那麼當在這個電路兩端加上電壓時，這些點的電勢一定是相等的，即使用導線把這些點連線起來也不會有電流（或把連線這些點的導線去掉也不會對電路構成影響），充分的利用這一點我們就可以使電路大為簡化。

例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為r的6根電阻絲連線而成，求兩頂點a、b間的等效電阻。

圖1圖2

分析:假設在a、b兩點之間加上電壓，並且電流從a電流入、b點流處。因為對稱性，圖中cd兩點等電勢，或者說c、d 間的電壓為零。

因此，cd間的電阻實際上不起作用，可以拆去。原網路簡化成簡單的串、併聯網路，使問題迎刃而解。

解：根據以上分析原網路簡化成如圖2所示的簡單的串、併聯網路，由串、併聯規律得

rab=r/2

例（2）三個相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀，若每乙個金屬圈的原長電阻為r，試求圖中a、b兩點之間的等效電阻。

圖3圖4圖5

分析：從圖3中可以看出，整個電阻網路相對於ab的電流流入、流出方式上具有上下對稱性，因此可上下壓縮成如圖所時的等效減化網路。從如圖4所示的網路中可以看出，從a點流到o電流與從o點到b電流必相同；從a1點流到o電流與從o點到b1電流必相同。

據此可以將o點斷開，等效成如圖5所示的簡單網路，使問題得以求解。

解：根據以上分析求得rab=5r/48

例（3）如圖6所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是r。求a、g之間的電阻是多少？

分析: 假設在a 、g兩點之間加上電壓時，顯然由於對稱性d、b、e 的電勢是相等的，c、f、h的電勢也是相等的，把這些點各自連起來，原電路就變成了如圖7所示的簡單電路。

解:由簡化電路，根據串、併聯規律解得rag=5r/6

（同學們想一想，若求a、f或a、e之間的電阻又應當如何簡化？）

例（4）在如圖8所示的網格形網路中，每一小段電阻均為r，試求a、b之間的等效電阻rab。

圖8圖9

圖10圖11

分析:由於網路具有相對於過a、b對角線的對稱性，可以摺疊成如圖9所示的等效網路。而後根據等電勢點之間可以拆開也可以合併的思想簡化電路即可。

解法(a)：簡化為如圖9所示的網路以後，將3、o兩個等勢點短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡單網路。最後不難算得

rao=rob=5r/14

rab= rao+rob=5r/7

解法(b)：簡化為如圖所示的網路以後，將圖中的o點上下斷開，如圖11所示，最後不難算得

rab=5r/7

2：電流分布法

設定電流i從網路a電流入，b 電流出。應用電流分流思想和網路中任意兩點之間不同路徑等電壓的思想，建立以網路中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流i的比例關係，然後選取a到b的某一路經計算a、b 間的電壓，再由rab=uab/iab即可算出rab

例：有如圖12所示的電阻網路，求a、b之間的電阻rab

分析：要求a、b之間的電阻rab按照電流分布法的思想，只要設上電流以後，求得a、b 間的電壓即可。

圖12解：設電流由a流入，b流出，各支路上的電流如圖所示。根據分流思想可得

i2=i-i1

i3=i2-i1=i-2i1

a、o間的電壓，不論是從ao看，還是從aco看，都應該是一樣的，因此

i1(2r)=(i-i1)r+(i-2i1)r

解得i1=2i/5

取aob路徑，可得ab間的電壓

uab=i1*2r+i4*r

根據對稱性

i4=i2=i-i1=3i/5

所以uab=2i/5*2r+3i/5*r=7ir/5

rab=uab/i=7r/5

這種電流分布法事實上已經引進了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。

3：y δ變換

複雜電路經過y δ變換，可以變成簡單電路。如圖13和14所示分別為δ網路和y網路，兩個網路中得6個電阻滿足怎樣的關係才能使這兩個網路完全等效呢 ?

所謂完全等效，就是要求

uab=uab,ubc=ubc,uca=uca

ia=ia,ib=ib,ic=ic

在y網路中有

iara-ibrb=uab

icrc-iara=uca

ia+ib+ic=0

圖13圖14

解得ia=rcuab/(rarb+rbrc+rcra)+ rbuca/(rarb+rbrc+rcra)

在δ網路中有

iab=uab/rab

ica=uca/rca

ia=iab-ica

解得ia= （uab/rab）-（ uca/rca）

因為要求ia=ia ，所以

rcuab/(rarb+rbrc+rcra)+ rbuca/(rarb+rbrc+rcra)= （uab/rab）-（ uca/rca）

又因為要求uab= uab ，uca= uca 所以要求上示中對應項係數相等，即

rab=(rarb+rbrc+rcra)/ rc1）

rca=(rarb+rbrc+rcra)/ rb2）

用類似的方法可以解得

rbc=(rarb+rbrc+rcra)/ ra3)

(1)、（2）、（3）三式是將y網路變換到δ網路的一組變換式。

在(1)、（2）、（3）三式中將rab 、rbc、rca作為已知量解出ra、rb、rc即可得到

ra=rab*rca/(rab+rbc+rca4）

rb=rab*rbc/(rab+rbc+rca5）

rc=rbc*rca/(rab+rbc+rca6）

(4)、（5）、（6）三式是將δ網路變換到y網路的一組變換式。

例（1）求如圖15所示雙t橋網路的等效電阻rab。

圖15圖16

分析：此題無法直接用串、併聯規律求解，需要將雙t橋網路中兩個小的y網路元變換成兩個小的δ網路元，再直接用串、併聯規律求解即可。

解:原網路等效為如圖16所示的網路，由此可以算得

rab=118/93ω

例（2）有7個電阻同為r的網路如圖17所示，試求a、b間的等效電阻rab。

圖17圖18

解：將y網路o-abc變換成δ網路如圖18所示

其中 rab=(rarb+rbrc+rcra)/ rc=5r

rbc=(rarb+rbrc+rcra)/ ra=5r/2

rca=(rarb+rbrc+rcra)/ rb=5r

這樣就是乙個簡單電路了，很容易算得

rab=7r/5

4：電橋平衡法

圖19如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中r1、r2、r3、r4分別叫電橋的臂，g是靈敏電流計。當電橋平衡（即靈敏電流計的示數為零）的時候，我們稱之為電橋平衡。這時有

i1=i2, i3=i4, i1ri=i3r3, i2r2=i4r4

有這些關係可以得到

r1/r2=r3/r4

上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡化對稱性不明顯的電路，十分方便。

例:有n 個接線柱，任意兩個接線柱之間都接有乙個電阻r求任意兩個接線柱之間的電阻。

圖20分析：粗看本題根本無法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識，則能十分方便得求解。

解：如圖20所示，設想本題求兩接線柱a、b之間的等效電阻，根據對稱性易知，其餘的接線柱cde---- 中，任意兩個接線柱之間的電阻無電流通過，故這些電阻都可以刪除，這樣電路簡化為:a、b之間連有電阻r，其餘（n-2）個接線柱之間僅有電阻分別與a、b兩點相連，它們之間沒有電阻相連。

即1/rab=1/r+1/[2r/(n-2)]

所以rab=2r/n

二：無限電阻網路

無限電阻網路分為線型無限網路和面型無限網路，下面我們就這兩個方面展開討論

1：線型無限網路

所謂「線型」就是一字排開的無限網路，既然研究物件是無限的，就可以利用「無限」這個條件，再結合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。

例（1）如圖21所示的電路是乙個單邊的線型無限網路，每個電阻的阻值都是r，求a、b之間的等效電阻rab .

圖21解：因為是「無限」的，所以去掉乙個單元或增加乙個單元不影響等效電阻即rab應該等於從cd往右看的電阻rcd

rab=2r+r*rcd/(r+rcd)=rcd

整理得 rcd2-2rrcd-2r2=0

解得：rcd=（1+31/2）r= rab

例（2）一兩端無窮的電路如圖22所示，其中每個電阻均為r求a、b兩點之間的電阻。

圖22圖23

解：此電路屬於兩端無窮網路，整個電路可以看作是由三個部分組成的，如圖所示，則

rab=(2rx+r)r/(2rx+2r)

複雜電阻網路的處理方法

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複雜電路的簡化方法

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