「萬有引力定律」習題歸類例析
萬有引力定律部分內容比較抽象，習題型別較多，不少學生做這部分習題有一種懼怕感，找不著切入點．實際上，只要掌握了每一類習題的解題技巧，困難就迎刃而解了．下面就本章的不同型別習題的解法作以歸類分析．
一、求天體的質量(或密度)
1．根據天體表面上物體的重力近似等於物體所受的萬有引力，由天體表面上的重力加速度和天體的半徑求天體的質量
由mg=g 得 .（式中m、g、r分別表示天體的質量、天體表面的重力加速度和天體的半徑．）
[例1]太空人站在一星球表面上的某高處，沿水平方向丟擲一小球，經過時間t，小球落在星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為l，若丟擲時的初速度增大到2倍，則拋出點與落地點間的距離為 l，已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為r，引力常量為g，求該星球的質量m和密度ρ.
[解析]此題的關鍵就是要根據在星球表面物體的運動情況求出星球表面的重力加速度，再根據星球表面物體的重力等於物體受到的萬有引力求出星球的質量和星球的密度．
根據平拋運動的特點得丟擲物體豎直方向上的位移為
設初始平拋小球的初速度為v，則水平位移為x=vt．有 ○1
當以2v的速度平拋小球時，水平位移為x'= 2vt．所以有 ②
在星球表面上物體的重力近似等於萬有引力，有mg=g ③
聯立以上三個方程解得
而天體的體積為 ，由密度公式得天體的密度為 。
2．根據繞中心天體運動的衛星的執行週期和軌道半徑，求中心天體的質量
衛星繞中心天體運動的向心力由中心天體對衛星的萬有引力提供，利用牛頓第二定律得
若已知衛星的軌道半徑r和衛星的執行週期t、角速度或線速度v，可求得中心天體的質量為
[例2]下列幾組資料中能算出地球質量的是（萬有引力常量g是已知的）（ ）
a.地球繞太陽執行的週期t和地球中心離太陽中心的距離r
b.月球繞地球執行的週期t和地球的半徑r
c.月球繞地球運動的角速度和月球中心離地球中心的距離r
d.月球繞地球運動的週期t和軌道半徑r
[解析]解此題關鍵是要把式中各字母的含義弄清楚，要區分天體半徑和天體圓周運動的軌道半徑．已知地球繞太陽執行的週期和地球的軌道半徑只能求出太陽的質量，而不能求出地球的質量，所以a項不對．已知月球繞地球執行的週期和地球的半徑，不知道月球繞地球的軌道半徑，所以不能求地球的質量，所以b項不對．已知月球繞地球運動的角速度和軌道半徑，由可以求出中心天體地球的質量，所以c項正確．由求得地球質量為 ，所以d項正確．
二、人造地球衛星的運動參量與軌道半徑的關係問題
根據人造衛星的動力學關係
可得由此可得線速度v與軌道半徑的平方根成反比；角速度與軌道半徑的立方的平方根成反比，週期t與軌道半徑的立方的平方根成正比；加速度a與軌道半徑的平方成反比．
[例3兩顆人造衛星a、b繞地球做圓周運動，週期之比為 ，則軌道半徑之比和運動速率之比分別為（ ）
a.b.
c.d.
[解析]由可得衛星的運動週期與軌道半徑的立方的平方根成正比，由可得軌道半徑 ，然後再由得線速度 。所以正確答案為c項．
三、地球同步衛星問題
衛星在軌道上繞地球執行時，其執行週期（繞地球一圈的時間）與地球的自轉週期相同，這種衛星軌道叫地球同步軌道，其衛星軌道嚴格處於地球赤道平面內，執行方向自西向東，運動週期為23小時56分（一般近似認為週期為24小時），由得人造地球同步衛星的軌道半徑 ，所以人造同步衛星離地面的高度為 ,利用可得它執行的線速度為3.07 km/s.總之，不同的人造地球同步衛星的軌道、線速度、角速度、週期和加速度等均是相同的．不一定相同的是衛星的質量和衛星所受的萬有引力．
人造地球同步衛星相對地面來說是靜止的，總是位於赤道的正上空，其軌道叫地球靜止軌道．通訊衛星、廣播衛星、氣象衛星、預警衛星等採用這樣的軌道極為有利一顆靜止衛星可以覆蓋地球大約40％的面積，若在此軌道上均勻分布3顆衛星，即可實現全球通訊或預警．為了衛星之間不互相千擾，大約30左右才能放置1棵，這樣地球的同步衛星只能有120顆．可見，空間位置也是一種資源。
[例4]關於「亞洲一號」地球同步通訊衛星，下述說法正確的是（ ）
a.已知它的質量是1.24 t，若將它的質量增為2.84 t，其同步軌道半徑變為原來的2倍
b.它的執行速度為7.9 km/s
c.它可以繞過北京的正上方，所以我國能利用其進行電視轉播
d.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度的
[解析]同步衛星的軌道半徑是一定的，與其質量的大小無關．所以a項錯誤．因為在地面附近繞地球做勻速圓周運動的衛星的速度近似等於7.9 km/ s，而衛星的線速度隨軌道半徑的增大而減小，所以同步衛星的線速度一定小於7.9 km/s,實際計算表明它的線速度只有3.
07 km/s。所以b項錯誤．因同步衛星的軌道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步軌道不可能過北京的正上方．所以c項錯誤．同步衛星的向心加速度 ，物體在地面上的重力加速度 ，依題意 ，所以 。d選項正確。
四、求天體的第一宇宙速度問題
人造地球衛星的線速度可用求得可得線速度與軌道的平方根成反比，當r=r時，線速度為最大值，最大值為7.9 km/s. (實際上人造衛星的軌道半徑總是大於地球的半徑，所以線速度總是小於7.
9 km/s）這個線速度是地球人造衛星的最大線速度，也叫第一宇宙速度．發射人造衛星時，衛星發射的越高，克服地球的引力做功越大，發射越困難，所以人造地球衛星發射時，一般都發射到離地很近的軌道上，發射人造衛星的最小發射速度為7. 9 km/ s.
在其他的星體上發射人造衛星時，第一宇宙速度也可以用類似的方法計算，即 ，式中的m、r、g 分別表示某星體的質量、半徑、星球表面的重力加速度．
[例5]若取地球的第一宇宙速度為8 km/s，某行星的質量是地球質量的6倍，半徑是地球的1.5倍，這順行星的第一宇宙速度約為（ ）
a. 2 km/sb. 4 km/s
c. 16 km/s d. 32 km/s
[解析]由得 8 m/s，某行星的第一宇宙速度為
16 m/s
五、人造衛星的變軌問題
發射人造衛星要克服地球的引力做功，發射的越高，克服地球的引力做功越多，發射越困難．所以在發射同步衛星時先讓它進入乙個較低的近地軌道（停泊軌道）a，然後通過點火加速，使之做離心運動，進入乙個橢圓軌道**移軌道）b，當衛星到達橢圓軌道的遠地點時，再次通過點火加速使其做離心運動，進人同步軌道c。
[例6]如圖所示，軌道a與軌道b相切於p點，軌道b與軌道c相切於q點，以下說法正確的是（ ）
a.衛星在軌道b上由p向q運動的過程中速率越來越小
b.衛星在軌道c上經過q點的速率大於在軌道a上經過p點的速率
c.衛星在軌道b上經過p時的向心加速度與在軌道a上經過p點的向心加速度是相等的
d.衛星在軌道b上經過q點時受到地球的引力小於經過p點的時受到地球的引力
[解析]衛星在軌道b上由p到q的過程中，遠離地心，克服地球的引力做功，所以要做減速運動，所以速率是逐漸減小的，a項正確．衛星在a、c軌道上執行時，軌道半徑不同，根據可知軌道半徑越大，線速度小，所以有 ,所以b項錯誤．衛星在a、b兩軌道上經過p點時，離地心的距離相等，受地球的引力相等，所以加速度是相等的，c項正確、衛星在軌道b上經過q點比經過p點時離地心的距離要遠些，受地球的引力要小些，所以d項正確．
六、人造天體的交會對接問題
交會對接指兩個太空飛行器（宇宙飛船、太空梭等）在太空軌道會合併連線成乙個整體．它是實現太空裝配、**、補給、維修、航天員交換等過程的先決條件．空間交會對接技術包括兩部分相互銜接的空間操作，即空間交會和空間對接．所謂交會是指兩個或兩個以上的太空飛行器在軌道上按預定位置和時間相會，而對接則為兩個太空飛行器相會後在結構上連成乙個整體．
[例7]關於太空梭與空間站對接問題，下列說法正確的是（ ）
a.先讓太空梭與空間站在同一軌道上，然後讓太空梭加速，即可實現對接
b.先讓太空梭與空間站在同一軌道上，然後讓太空梭減速，即可實現對接
c.先讓太空梭進入較低的軌道，然後再對其進行加速，即可實現對接
d.先讓太空梭進入較高的軌道，然後再對其進行加速，即可實現對接
[解析]太空梭在軌道執行時，若突然對其加速時，地球對飛機的萬有引力不足以提供太空梭繞地球做圓周運動的向心力，太空梭就會做離心運動，所以選項a、b、d不可能實現對接。正確答案為c項。
七、雙星問題
兩棵質量可以相比的恆星相互繞著旋轉的現象，叫做雙星．雙星中兩棵子星相互繞著旋轉看作勻速圓周運動的向心力由兩恆星間的萬有引力提供．由於力的作用是相互的，所以兩子星做圓周運動的向心力大小是相等的，因兩子星繞著連線上的一點做圓周運動，所以它們的運動週期是相等的，角速度也是相等的，線速度與兩子星的軌道半徑成正比．
[例8]兩棵靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至於由於萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是（ ）
a.它們做圓周運動的角速度之比與其質量成反比
b.它們做圓周運動的線速度之比與其質量成反比
c.它們做圓周運動的半徑與其質量成正比
d.它們做圓周運動的半徑與其質量成反比
[解析]兩子星繞連線上的某點做圓周運動的週期相等，角速度也相等．由得線速度與兩子星圓周運動的半徑是成正比的．因為兩子星圓周運動的向心力由兩子星間的萬有引力提供，向心力大小相等，由可知 ，所以它們的軌道半徑與它們的質量是成反比的．而線速度又與軌道半徑成正比，所以線速度與它們的質量也是成反比的．正確答案為b、d選項．
八、地面上物體隨地球自轉做圓周運動問題
因地球自轉，地球赤道上的物體也會隨著一起繞地軸做圓周運動，這時物體受地球對物體的萬有引力和地面的支援力作用，物體做圓周運動的向心力是由這兩個力的合力提供，受力分析如圖所示．
實際上，物體受到的萬有引力產生了兩個效果，乙個效果是維持物體做圓周運動，另乙個效果是對地面產生了壓力的作用，所以可以將萬有引力分解為兩個分力：乙個分力就是物體做圓周運動的向心力，另乙個分力就是重力，如圖所示．這個重力與地面對物體的支援力是一對平衡力．在赤道上時這些力在一條直線上．
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