1、最值問題
【最小值問題】
例1 外賓由甲地經乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，並規定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。
現知甲乙相距5000公尺，乙丙相距8000公尺，丙丁相距4000公尺，那麼至少要增加______位民警。
（《中華電力杯》少年數學競賽決賽第一試試題）
講析：如圖5.91，現在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有7位民警。
他們將上面的線段分為了2個2500公尺，2個4000公尺，2個2000公尺。現要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。
由於2500、4000、2000的最大公約數是500，所以，整段路最少需要的民警數是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在乙個正方體表面上，三隻螞蟻分別處在a、b、c的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發會面，那麼，應選擇哪點會面最省時？
（湖南懷化地區小學數學奧林匹克預賽試題）
講析：因為三隻螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發會面最省時，必須三者同時到達，即各自行的路程相等。
我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則a、b、c三點在同一平面上。這樣，便將問題轉化為在同一平面內找出一點o，使o到這三點的距離相等且最短。
所以，連線a和c，它與正方體的一條稜交於o；再連線ob，不難得出ao=oc=ob。
故，o點即為三隻螞蟻會面之處。
【最大值問題】
例1 有三條線段a、b、c，並且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？
（全國第二屆「華盃賽」初賽試題）
講析：三個圖的面積分別是：
三個面積數變化的部分是兩數和與另一數的乘積，不變數是（a＋b＋c）的和一定。其問題實質上是把這個定值拆成兩個數，求這兩個數為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數的值最接近。
故圖（3）的面積最大。
例2 某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商品按100元售出後，能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應定為每個______元。
（台北市數學競賽試題）
講析：因為按每個100元**，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個。
現把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。
所以，每個漲價的錢數與銷售的份數之和是不變的（為60），根據等周長長方形面積最大原理可知，當把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30份，此時有最大的利潤。
因此，每個售價應定為90＋30=120（元）時，這一天能獲得最大利潤。
2、最值規律
【積最大的規律】
（1）多個數的和一定（為乙個不變的常數），當這幾個數均相等時，它們的積最大。用字母表示，就是
如果a1+a2+…+an=b（b為一常數），
那麼，當a1=a2=…=an時，a1×a2×…×an有最大值。
例如，a1+a2=10，
1+9=10→1×9=9；
2+8=10→2×8=16；
3+7=10→3×7=21；
4+6=10→4×6=24；
4.5+5.5=10→4.5×5.5=24.75；
5+5=10→5×5=25；
5.5+4.5=10→5.5×4.5=24.75；
9+1=10→9×1=9；
由上可見，當a1、a2兩數的差越小時，它們的積就越大；只有當它們的差為0，即a1=a2時，它們的積就會變得最大。
三個或三個以上的數也是一樣的。由於篇幅所限，在此不一一舉例。
由「積最大規律」，可以推出以下的結論：
結論1 所有周長相等的n邊形，以正n邊形（各角相等，各邊也相等的n邊形）的面積為最大。
例如，當n=4時，周長相等的所有四邊形中，以正方形的面積為最大。
例題：用長為24厘公尺的鐵絲，圍成乙個長方形，長寬如何分配時，它的面積為最大？
解設長為a厘公尺，寬為b厘公尺，依題意得
（a+b）×2=24
即 a+b=12
由積最大規律，得a=b=6（厘公尺）時，面積最大為
6×6=36（平方厘公尺）。
（注：正方形是特殊的矩形，即特殊的長方形。）
結論2 在三度（長、寬、高）的和一定的長方體中，以正方體的體積為最大。
例題：用12公尺長的鐵絲焊接成乙個長方體，長、寬、高如何分配，它的體積才會最大？
解設長方體的長為a公尺，寬為b公尺，高為c公尺，依題意得
（a+b+c）×4=12
即a+b+c=3
由積最大規律，得a=b=c=1（公尺）時，長方體體積為最大。最大體積為
1×1×1=1（立方公尺）。
（2）將給定的自然數n，分拆成若干個（不定）的自然數的和，只有當這些自然數全是2或3，並且2至多為兩個時，這些自然數的積最大。
例如，將自然數8拆成若干個自然數的和，要使這些自然數的乘積為最大。怎麼辦呢？
我們可將各種拆法詳述如下：
分拆成8個數，則只能是8個「1」，其積為1。
分拆成7個數，則只能是6個「1」，1個「2」，其積為2。
分拆成6個數，可得兩組數：（1，1，1，1，1，3）；（1，1，1，1，2，2）。它們的積分別是3和4。
分拆成5個數，可得三組數：（1，1，1，1，4）；（1，1，1，2，3）；（1，1，2，2，2）。它們的積分別為4，6，8。
分拆成4個數，可得5組數：（1，1，1，5）；（1，1，2，4）；（1，1，3，3）；（1，2，2，3）；（2，2，2，2）。它們的積分別為5，8，9，12，16。
分拆成3個數，可得5組數：（1，1，6）；（1，2，5）；（1，3，4）；（2，2，4）；（2，3，3）。它們的積分別為6，10，12，16，18。
分拆成2個數，可得4組數：（1，7）；（2，6）；（3，5）；（4，4）。它們的積分別為7，12，15，16。
分拆成乙個數，就是這個8。
從上面可以看出，積最大的是
18=3×3×2。
可見，它符合上面所述規律。
用同樣的方法，將6、7、14、25分拆成若干個自然數的和，可發現
6=3+3時，其積3×3=9為最大；
7=3+2+2時，其積3×2×2=12為最大；
14=3+3+3+3+2時，其積3×3×3×3×2=162為最大；
由這些例子可知，上面所述的規律是正確的。
【和最小的規律】幾個數的積一定，當這幾個數相等時，它們的和相等。用字母表達，就是如果a1×a2×…×an=c（c為常數），
那麼，當a1=a2=…=an時，a1+a2+…+an有最小值。
例如，a1×a2=9，
1×9=9→1+9=10；
3×3=9→3+3=6；
由上述各式可見，當兩數差越小時，它們的和也就越小；當兩數差為0時，它們的和為最小。
例題：用鐵絲圍成乙個面積為16平方分公尺的長方形，如何下料，材料最省？
解設長方形長為a分公尺，寬為b分公尺，依題意得a×b=16。
要使材料最省，則長方形周長應最小，即a+b要最小。根據「和最小規律」，取
a=b=4（分公尺）
時，即用16分公尺長的鐵絲圍成乙個正方形，所用的材料為最省。
推論由「和最小規律」可以推出：在所有面積相等的封閉圖形中，以圓的周長為最小。
例如，面積均為4平方分公尺的正方形和圓，正方形的周長為8分公尺；而
的周長小於正方形的周長。
【面積變化規律】在周長一定的正多邊形中，邊數越多，面積越大。
為0.433×6=2.598（平方分公尺）。
方形的面積。
推論由這一面積變化規律，可以推出下面的結論：
在周長一定的所有封閉圖形中，以圓的面積為最大。
例如，周長為4分公尺的正方形面積為1平方分公尺；而周長為4分公尺的圓，
於和它周長相等的正方形面積。
【體積變化規律】在表面積一定的正多面體（各面為正n邊形，各面角和各二面角相等的多面體）中，面數越多，體積越大。
例如，表面積為8平方厘公尺的正四面體s—abc（如圖1.30），它每乙個面均為正三角形，每個三角形面積為2平方厘公尺，它的體積約是1.1697立方厘公尺。而表面積為8平方厘公尺
長約為1.1546厘公尺，體積約為1.539立方厘公尺。顯然，正方體體積大於正四面體體積。
推論由這一體積變化規律，可推出如下結論：
在表面積相等的所有封閉體中，以球的體積為最大。
例如，表面積為8平方厘公尺的正四面體，體積約為1.1697立方公尺；表面積為8平方厘公尺的正六面體（正方體），體積約為1.539立方厘公尺；而表面積是8平方厘公尺的球，體積卻約有2.
128立方厘公尺。可見上面的結論是正確的。
【排序不等式】 對於兩個有序陣列：
a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，
則a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）
t≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（亂序）≥a1b
n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n
為b1、b2、……、bn的任意一種排列（順序、倒序排列在外），當且僅當a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn時，式中等號成立。）由這一不等式可知，同序積之和為最大，倒序積之和為最小。例題：
設有10個人各拿乙隻水桶，同時到乙個水龍頭下接水。水龍頭注滿第
一、第二、……九、十個人的桶，分別需要1、2、3、……、9、10分鐘。問：如何安排這10個人的排隊順序，可使每個人所費時間的總和盡可能少？這個總費時至少是多少分鐘？
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