煙台三中：劉靖
2023年4月19日，山東省數學優質課評選活動在濟南長清拉開帷幕。全省18位講課選手被分為兩組，每組9人分別在兩個賽區參賽。4月19日晚，通過抽籤的方式決定了講課順序和授課班級及課題。
我執教了「條件概率」一課，現在回憶起來感慨頗深，現將當時的教學過程及後來的一些感受記錄下來，與同行交流。
一、 教學過程：
1. 匯入新課：前面學習了等可能事件的概率及概率的分布列，解決了許多
生活中的實際問題。如：這次省優質課評選活動中，在咱長清中學賽區講課的九位參賽老師，就是通過抽籤的方式決定講課順序及講課班級的。具體是這樣操作的：在乙個袋子中放著標有：高
二、一，高
二、二，……高
二、九的九個外觀完全相同的小球，搖勻後，每位參賽教師無放回地任取乙個，抽到高
二、三的教師講課順序是3，授課班級就是咱們高
二、三班。請問同學們，我抽到咱高
二、三班的概率是多少？（1/9）。當我已知第一位教師沒有抽到高
二、三，在這個條件下，我抽到高
二、三的概率又是多少？（1/8）。這個1/8就是在已知「第一位教師沒有抽到高
二、三班」這個事件已經發生的條件下，「我抽到高
二、三」的概率。即已知乙個事件發生的條件下，另乙個事件發生的概率。這就是這節課我們要學習的條件概率。（打出課題）（這段話放慢語速，適當輔以動作）
（設計意圖：概率起源於生活，應用於生活，因此用生活中的例項引入能幫助學生理解條件概率的意義，將抽象的概念生活化、具體化。同時，因為是借班上課，而且有幾百人在聽課，學生有點緊張，教師像講故事一樣，將這個例項娓娓到來，緩和了緊張氣氛，與學生拉近了距離。
）2．條件概率的定義：同學們能根據剛才的例項歸納出條件概率的定義嗎？（學生討論、發言，教師將定義在螢幕上打出來。）
（設計意圖：通過例項，讓學生主動發現、歸納定義，而不是被動地接受。）
3．條件概率公式：上面我們知道了什麼是條件概率，現在通過乙個例子來看如何求條件概率。
引例：拋擲紅、蘭兩枚骰子，設事件a=「蘭骰子的點數為3或6」，b=「兩骰子的點數之和大於8」，求p（b）與p（b︱a）。
分析：若用x表示拋擲紅骰子得到的點數，用y表示拋擲蘭骰子得到的點數，同學們能寫出基本事件空間嗎？（學生板演：
s =）事件b包含的基本事件有哪些？（學生口答：（3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共10個）那麼事件b發生的概率是多少？
（學生口答：p（b）= 10/18 = 5/9）（此時教師打出圖示，並指著**釋：如圖：
基本事件空間的所有元素與圖中的點一一對應，事件b包含的基本事件與圖中實線包圍的點一一對應，從圖中易求p（b）= 10/18 = 5/9））
（設計意圖：從「形」的角度將p（b）的求解過程再解釋一遍，目的是引導學生利用「形」求出p（b︱a），降低求p（b︱a）的難度。）
下面再求p（b︱a），求在事件a發生的條件下，b的概率，基本事件空間縮小了，變成了a，即虛線包圍的點，共12個，在這個條件下，b包含的點有哪些？共多少個？（學生口答：
（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）（6，3））從而得到a發生的條件下，b的概率是多少？（學生口答：5/12）（將上述解題過程在螢幕上打出來，並指著螢幕上的兩個結果p（b）= 10/18 = 5/9與p（b︱a）=5/12作如下分析）通過上面的計算，進一步發現：
事件b的概率在有附加條件a和沒有附加條件a是不一樣的。這個條件概率的值必定與條件a有關，而且a發生的條件下，b發生，實際上，事件a發生了，事件b也發生了，事件a，b都發生了。這時，我們自然聯想到：
p（b︱a）的值是不是會與事件a的概率及a，b同時發生的概率有某種關係呢？下面我們具體求求看。（這段話語速放慢，並指著螢幕說，邊說邊打出下面的內容）
事件a，b同時發生的概率
p（b︱a）
事件a的概率
（學生討論求事件a的概率及事件a，b同時發生的概率，然後請一位同學說出結果，因為有圖示，學生求上面兩個概率值並不困難，學生邊答，教師邊在上面3行後面打出相應的結果，將結果全部打出即為下面的樣式：）
事件a，b同時發生的概率→5/36
p（b︱a） → 5/12
事件a的概率12/36
（請同學們觀察，這三個概率之間是否存在某種關係？學生討論，請一位同學說出討論結果：事件a發生的條件下，b的概率等於事件a，b同時發生的概率除以事件a發生的概率。）
我們先介紹乙個概念：把事件a，b同時發生所構成的事件d稱作a，b同時發生的概率，記作：p（a∩b）。這樣我們就得到了條件概率公式：，其中p（a）> 0 （打出公式）
（設計意圖：通過比較p（b）與p（b∣a）的值不同，引導學生探索p（b∣a）的公式，努力讓條件概率公式來的自然些。同時，在得到了p（b∣a），p（a），及a，b同時發生的概率之間的關係後，緊接著給出事件a與b的交的定義及其概率的表示，從而將三者的關係可轉化成數學表示式，定義的出現顯得自然而必要。
）下面給同學們2分鐘時間看課本p48-p49第一行，並記憶兩個概念及乙個公式。（看完書後，針對條件概率公式，給出3個問題以檢驗學生對公式的掌握情況）
1）上面的公式中，已知p（a∩b），p（a）可求p（b︱a），那麼已知
p（b︱a）和p（a），能求p（a∩b）嗎？
（設計意圖：為了給下節課內容：《事件的獨立性》作個鋪墊。）
2）p（b︱a）與p（a︱b）是否相等？並就前面的引例求一下p（a︱b）。
（設計意圖；強調求條件概率關鍵是分清在誰的條件下，求誰的概率，並讓學生具體求一下p（a∣b），從中體會求條件概率的步驟。）
3）若a∩b=，則p（b︱a）= ？，p（a︱b） = ？
4）你能總結出求條件概率的一般步驟嗎？
（學生通過小組討論得出求條件概率的一般步驟：）
第一步：設事件，將事件用字母表示；
第二步：寫出基本事件空間，及a，b包含的基本事件，進而求出a∩b包含的基本事件；
第三步：求p（a∩b），p（a），代入公式求p（b︱a）。
4．例題講解：
例1、乙個家庭中有兩個小孩，假定生男生女是等可能的，已知這個家庭中有乙個女孩，問另乙個是男孩的概率是多少？
（在螢幕上打出此題後，請一位同學讀題，讀完後，請學生們猜一下另乙個孩子是男孩的概率大，還是女孩的概率大？為什麼？學生大多數回答：
男孩和女孩的概率一樣大，因為生男生女是等可能的。教師接著引導，事實是這樣嗎？我們具體求求看。
）（設計意圖：激起學生的好奇心和迫切想得到答案的慾望，最終發現猜想與事實不符，教育學生要用聯絡的觀點和科學的方法分析問題，不能想當然。）
分析：（1）本題要求的是什麼？（學生答：
已知乙個孩子是女孩，求另乙個是男孩的概率。）（2）是條件概率的題目嗎？（學生答：
是）（3）解決這類問題第一步應該做什麼？本題應怎樣做？（學生答：
第一步是設事件，本題設a=「其中乙個是女孩」，b=「其中乙個是男孩」 ）（4）第二步應該做什麼？本題應怎樣做？（學生答：
第二步寫出基本事件空間，a，b及a∩b包含的基本事件，本題中基本事件空間s=，a=，b=，a∩b=）（5）第三步應該做什麼？本題應怎樣做？（學生答：
求p（a∩b），p（a），代入公式求p（b︱a）。本題中p（a∩b）=1/2，p（a）=3/4，代入公式求p（b︱a）=2/3。（6）本題是應用題，應該寫出答。
（教師邊分析邊提出問題，讓學生口答，學生邊答，教師邊打出步驟。最後強調：做這類題目的關鍵是：設好事件，分清在誰的條件下，求誰的概率。）
（設計意圖：通過一問一答這種方式解決此題，為的是讓學生學會分析和解決此類問題的方法、步驟。）
練習：p50 a組1、2（學生板演，教師點評）
例2、設某種動物從出生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現有乙個20歲的這種動物，問它能活到25歲的概率是多少？
（請一位同學分析此題，並說出解題過程，說完後，教師打出步驟。）
解：設a=「活到20歲」，b=「活到25歲」，則a∩b = b =「活到25歲」，
p（a）=0.8，p（a∩b）= p（b）= 0.4，則p（b∣a）=0.4/0.8 = 0.5
答：它能活到25歲的概率是0.5。
（因為有例1作鋪墊，例2學生做的不錯。本題需注意弄清楚a∩b是什麼。個別學生認為a∩b=a，教師從集合的角度給予解釋：
乙個動物能活到25歲，則它必然能活到20歲，即b中任一元素都在a中，但若能活到20歲，卻不一定能活到25歲，即a中元素有的不在b中，從集合的角度看，b包含於a，a∩b=b）
例3、甲、乙兩地都位於長江中下游，椐一百多年的氣象記錄知：甲、乙兩地一年中雨天佔的比例分別為20%，18%，兩地同時下雨的比例為12%，問：（1）乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？
（2）甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？
（學生口答解題過程）本題需注意弄清楚：求在誰的條件下，誰的概率。
練習：p50練習a 4 （學生板演，教師點評）
5、小結：這節課我們學習了條件概率的定義、公式及求法，然後進一步解決了許多生活中的實際問題，在求條件概率時，關鍵是準確地設出事件a，b，分清在誰的條件下，求誰的概率。通過這節課的學習，還使我們真正體會到：
要用聯絡的觀點和科學的方法來分析周圍事物，不能一切想當然。
6、布置作業：課本p50練習a 3，練習b 1，2
二、教學感受：
1．良好的開端是成功的一半。
這一堂課該怎樣匯入為好？這個問題令我煩惱了好長時間，想到的例子有點俗套。後來4月19日晚抽籤，令我眼前一亮，就用現場抽籤的過程引入。
現在看來效果還不錯。所以要想上好一堂課，必須要認真設計開頭，一堂好課猶如一支婉轉悠揚的樂曲，「起調」起著關鍵性的作用，「起調」要扣人心弦。
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