第4章分離變數法
物理學、力學和工程技術等方面的許多問題都可歸結為偏微分方程的定解問題，上一章我們已初步看到怎樣把具體的物理問題表達為定解問題.下面乙個重要任務是怎樣去解決這些定解問題，也就是說在已經列出的方程與定解條件之後，怎樣去求既滿足方程又滿足定解條件的解.
從微積分學得知，在計算諸如多元函式的微分及重積分時總是把它們轉化為單元函式的相應問題來解決.與此類似，求解偏微分方程的定解問題也是要設法把它們轉化為常微分方程問題，分離變數法就是常用的一種轉化手法.本章我們將通過例項來說明分離變數法的步驟和實質.
在4.2我們討論了如何處理第三類齊次邊界條件（當然也包括第二類邊界條件）.在4.
3說明如何在極座標系下使用分離變數法.在4.4及4.
5我們討論了如何處理非齊次方程及非齊次邊界條件的問題，本章的最後還安排了兩個較為綜合性的例子作為總結.
4.1 有界弦的自由振動
為了使讀者了解什麼是分離變數法以及使用分離變數法應該具備什麼條件，我們選取兩端固定的弦的自由振動問題為例，通過具體地求解逐步回答這些問題.
根據第3章所得的結論，討論兩端固定的弦的自由振動，就歸結為求解下列定解問題
這個定解問題的特點是：偏微分方程是線性齊次的，邊界條件也是齊次的，求解這樣的問題，可以運用疊加原理.我們知道.
在求解常係數線性齊次常微分方程的初值問題時，是先求出足夠多個特解（它們能構成通解），再利用疊加原理作這些特解的線性組合，使滿足初始條件.這就啟發我們，要解問題(4.1),(4.
2),(4.3)，先尋求齊次方程（4.1)的滿足齊次邊界條件(4.
2)的足夠多個具有簡單形式（變數被分離的形式）的特解，再利用它們作線性組合使滿足初始條件(4.3).
現在我們試求方程(4.1)的變數分離形式的非零解，並要求它滿足齊次邊界條件(4.2),式中分別表示僅與有關及僅與有關的待定函式.由得
代入方程(4.1)得
或這個式子左端僅是的函式，右端僅是的函式，一般情況下二者不可能相等，只有當它們均為常數時才能相等.令此常數為，則有
.這樣我們得到兩個常微分方程：
4.4）
4.5）
再利用邊界條件(4.2)，由於)，故有
但,因為如果，則，這種解顯然不是我們所要求的，所以
4.6）
因此，要求方程（4.1）滿足條件(4.2)的分離變數形式的解，就先要從方程
中解出.
現在我們就來求非零解，但要求出並不是乙個簡單的問題，因為方程(4.5)中含有乙個待定常數，所以我們的任務既要確定取何值時方程(4.5)才有滿足條件(4.
6)的非零解，又要求出這個非零數.這種常微分方程問題稱為固有值問題，稱為特徵值（固有值，本徵值），函式稱為特徵函式（固有函式，本徵函式）.下面根據第1章所介紹的方法，我們對分三種情況來討論.
1°＞0，此時方程(4.5)的通解為
由條件(4.6)得
，解出得
，即，不符合非零解的要求，因此不能大於零.
2°設=0，此時方程(4.5)的通解為
，由條件(4.6)還是得，所以也不能等於零.
3°設＜0，並令為非零實數.此時方程(4.5)的通解為
由條件(4.6)得
由於不能為零（否則），所以即
（為負整數可以不必考慮，因為例如實際上還是的形式）從而
4.7）
這樣，我們就求出了一系列固有值及相應的固有函式：
4.8）
限定了的值後，現在再來求函式，以(4.7)式中的值代入方程(4.4)中得
顯然，其通解為
（4.9）
於是由(4.8)，（4.9）得到滿足方程(4.1)及邊界條件(4.2)的一組變數被分離的特解
(4.10)
其中是任意常數，至此，我們的第一步工作已經完成了，求出了既滿足方程(4.1)又滿足邊界條件(4.2)的無窮多個特解.
為了求原定解問題的解，還需要滿足條件(4.3).由(4.
10)式所確定的一組函式雖然已經滿足方程(4.1)及條件(4.2)，但不一定滿足初始條件(4.
3).為了求出原問題的解，首先我們將（4.10）中所有函式疊加起來
4.11）
如果(4.11)右端的無窮級數是收斂的，而且關於都能逐項微分兩次，則它的和也滿足方程(4.1)和條件（4.
2)（參考習題三第6題）.現在我們要適當選擇，使函式也滿足初始條件（4.3），為此必須有
因為是定義在上的函式，所在只要選取為的傅氏正弦級數展開式的係數，為的傅氏正弦級數展開式的係數，也就是
4.12）
初始條件(4.3)就能滿足，以(4.12)所確定的代入(4.11)式，即得原定解解問題的解.
當然，如上所述，要使(4.11)式所確定的函式u(x,t)確定是問題(4.1)，(4.
2)，(2.3)的解，除了其中的係數必須由(4.12)確定以外，還要求只要對函式及加一些條件就能滿足，可以證明（參閱復旦大學數學系編《數學物理方程》第二章§1），如果三次連續可微，二次連續可微，且，則問題(4.
1)，(4.2)，（4.3)的解存在.
並且這個解可以用(4.11)給出，其中由（4.12）式確定 .
從上面的運算過程可以看出，用分離變數法求解定解問題的關鍵步驟是確定固有函式與運用疊加原理，這些運算之所以能夠進行，就是因為偏微分方程與邊界條件都是齊次的，這一點希望讀者一定要注意.
例1 設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移.
解設位移函式為，它是下列定解解問題
的解，這時，並給定（這個數字與弦的材料、張力有關）.
顯然，這個問題的傅氏級數形式解可由(4.11)給出，其係數按（4.12）式為
因此，所求的解為
為了加深理解，下面我們扼要地分析一下級數形式解(4.11)的物理意義，先分析一下級數中每一項
的物理意義，分析的方法是：先固定時間，看看在任一指定時刻波是什麼形狀；再固定弦上一點，看看該點的振動規律.
把括號內的式子改變一下形式，可得
其中當時間取定值時，得
其中是乙個定值，這表示在任一時刻，波的形狀都是一些正弦曲線，只是它的振幅隨著時間的改變而改變.
當弦上點的橫座標取定值時，得
其中是乙個定值.這說明弦上以為橫座標的點作簡諧振動，其振幅為，角頻率為，初位相為.若取另外乙個定值時，情況也一樣，只是振幅不同罷了，所以表示這樣乙個振動波：
在考察的弦上各點以同樣的角頻率作簡諧振動，各點處的初位相也相同，而各點的振幅則隨點的位置改變而改變；此振動波在任一時刻的圖形是一正弦曲線.
這種振動波還有乙個特點，即在範圍內還有個點（包括兩個端點）永遠保持不動，這是因為在那些點上，的緣故，這些點在物理上稱為節點.這就說明的振動是在上的分段振動，其中有個節點，人們把這種包含節點的振動波叫做駐波.另外駐波還在個點處振幅達到最大值（讀者可自己討論），這種使振幅達到最大值的點叫做波腹.
圖4-1畫出了在某一時刻的駐波形狀.
綜合上述，可知是一系列駐波，它們的頻率、位相與振幅
圖4-1
都隨不同而不同，因此我們可以說，一維波動方程用分離變數法解出的結果)是由一系列駐波疊加而成的，而每乙個駐波的波形由固有函式確定，它的頻率由固有值確定.這完全符合實際情況，因為人們在考察弦的振動時，就發現許多駐波，它們的疊加又可以構成各種各樣的波形，因此很自然地會想到用駐波的疊加表示弦振動方程的解.這就是分離變數法的物理背景.
所以分離變數法也稱為駐波法.
4.2 有限長桿上的熱傳導
設有一均勻細桿，長為，兩端點的座標為與，杆的側面是絕熱的，且在端點處溫度是零度，而在另一端處杆的熱量自由發散到周圍溫度是零度的介質中去（參考第3章1.2中第三類邊界條件），已知初始溫度分布為求杆上的溫度變化規律，也就是要考慮下列定解問題：
我們仍用分離變數法來解這個問題，首先求出滿足邊界條件而且是變數被分離形式的特解.設
,上式左端不含有，右端不含有，所以只有當兩端均為常數時才可能相等.令此常數為，（讀者可以從方程結合邊界條件按取值的三種不同情況像4.1那樣討論後得出），則有
從而得到兩個線性常數微分方程
4.16）
解後乙個方程得
由邊界條件(4.14)可知
從得 ，從得
4.17）
為了求出，方程(4.17)可改寫成
4.18）
其中方程(4.18)的根可以看作是曲線與直線交點的橫座標（圖4-1），顯然它們的交點有無窮多個，於是方程(4.18)有無窮多個根，由這些根可以確定出固有值.
設方程(4.18)的無窮多個正根（不取負根是因為負根與正根只差乙個符號（圖4-2），再根據4.1中所述的同樣理由）為
於是得到無窮多個固有值
圖4-2
及相應的固有函式
4.19）
再由(4.16)中第乙個方程解得
4.20）
由(4.19)，（4.20)兩式，我們得到方程（4.13）滿足邊界條件(4.14)的一組特解
（4.21）
其中由於方程(4.13)與邊界條件(4.14)都是齊次的，所以
4.22）
仍滿足方程與邊界條件，最後考慮是否能滿足初始條件(4.15)，從(4.22)式得
現在希望它等於已知函式，那麼首先要問上定義的函式是否能展開為級數形式，其次要問係數如何確定，關於前者，只要在上滿足狄氏條件就可以了，現在主要談求係數的問題.回憶傅氏係數公式的得來是根據函式系的正交性，所以現在也要考察函式系在上的正交性，可以證明（參閱§5.3關於固有函式正交性的證明方法）
令於是把
4.23）
的兩端乘上，然後在[0,l]上積分得
即4.24）
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