湖南工業大學
課程設計
資料袋 理學院（系、部） 2011 ~ 2012 學年第一學期
課程名稱計算材料學指導教師雷軍輝職稱講師
學生姓名餘曉燕專業班級應用物理081班學號 08411200135
題目計算bn的彈性常數
成績起止日期 2023年 12月 4日 ～ 2023年 12 月 12 日
目錄清單
湖南工業大學
課程設計任務書
2011—2012 學年第 1 學期
理學院學院（系、部） 應用物理學專業 081 班級
課程名稱計算材料學
一、 設計題目： 計算bn的彈性常數
二、 完成期限：自 2011 年 12 月 4 日至 2011 年 12 月 12 日共 2 周
指導教師（簽字年月日
系（教研室）主任（簽字年月日
（計算材料）
設計說明書
起止日期： 2011 年 12月 4日至 2011 年 12月 12日
理學院（部）
2023年 12 月 12 日
計算bn的彈性常數
背景 ：
近年來，隨著材料、物理、計算機和數學等學科的發展，應用計算的方法研究材料的結構、能量和效能已成為一門迅速發展的新興學科-計算材料學。這種方法不僅能進行材料的計算模擬，而且能進行材料的計算機設計和相關效能的**。隨著計算機技術的飛速發展，第一性原理計算的方法在材料的結構和效能等方面的研究已取得了巨大的成功，第一性原理的方法是基於量子力學理論，從電子運動的層次研究材料的結構和相關效能。
目前，castep軟體的主要功能是對半導體、非線性光學材料、金屬氧化物、玻璃、陶瓷等固體材料，對電子工業、航空航天以及石化、化工等工業領域有著非常重要的戰略意義。對這些材料而言，其電子的結構與性質，以及表面和介面的性質與行為都非常重要。castep的量子力學方法，為深入了解固體材料的這些性質並進而設計新的材料，提供了強有力的工具。
基於密度泛函平面波贗勢方法的castep軟體可以對許多體系包括像半導體、陶瓷、金屬、礦石、沸石等進行第一性原理量子力學計算。典型的功能包括研究表面化學、能帶結構、態密度、熱學性質和光學性質。它也能夠研究體系電荷密度的空間分布和體系波函式。
castep還可以用來計算晶體的彈性模量和相關的機械效能，如泊松係數等。半導體和其他固體材料的許多效能由電子性質決定，而電子性質又由原子結構決定，特別是缺陷在改變電子結構上的作用對半導體性質尤為重要。分子模擬，特別是量子物理技術，可用來**原子和電子結構及分析缺陷對材料效能的影響。
castep能有效的研究存在點缺陷、空位、替代雜質、位錯等的半導體和其它材料中的的效能。除此以外，它還可以被用來計算固體的振動性質，如聲子色散關係、聲子態密度等。這些計算結果可以用來分析表面吸附的振動性質，可以解釋實驗中的振動譜，可以研究在高溫高壓下的相穩定性等等。
總的來說，它可以實現如下的功能：
1.計算體系的總能；
2.進行結構優化；
3.執行動力學任務：在設定的溫度和關聯引數下，研究體系中原子的運動行為；
4.計算週期體系的彈性常數；
5.化學反應的過度態搜尋。
除此之外，計算一些晶體的性質，如能帶結構、態密度、聲子色散關係、聲子態密度、光學性質、應力等。
下面介紹一下密度泛函理論、交換關聯泛函近似、贗勢方法和k-s方程迭代解法。
一、基礎理論：
1. hohenberg-kohn 定理和密度泛函理論 ：
密度泛函理論(dft)是用量子力學的理論求解多電子體系基態能量方法，其核心是用電子密度函式取代波函式作為研究的基本量，由hohenberg 和kohn 在1964 年建立[1,2]。根據量子力量的相關知識，大量電子和原子核相互作用的多粒子體系，在非相對論前提下，系統粒子運動的波函式可以由以下定態薛丁格方程來描述：
1-1)
哈密頓量僅考慮電子-電子作用、電子-原子核作用、原子核-原子核作用以及各個粒子的動能，對其它外場的情況可忽略。因此其哈密頓量可以寫成如下形式：
1-2)
其中，1-3)
1-4)
1-5)
對於上述方程，是無法直接求解的，必須對多粒子系統的電子能級計算採用一些簡化和近似。在實際的多粒子體系中，原子核的質量遠遠大約電子， 但是運動速度比電子小的多。因此考慮粒子運動時，將原子核的運動和電子的運動分開，考慮核的運動時忽略其電子分布，考慮電子運動時假定原子核處於相對靜止的狀態，這就是絕熱近似[3]。
通過近似，可以獨立的處理原子核運動和電子的運動，因此可以將薛丁格方程寫成電子運動方程和原子核運動方程。其電子運動方程是：
1-6)
原子核的運動方程：
1-7)
通過絕熱近似，得到了多電子的薛丁格方程，但不能實際求解，要求解上述方程， 必須將多電子問題簡化為單電子問題。單電子近似理論的源於 和 在1927 年的工作，就是用粒子數密度表示多粒子的基態系統的能量。 和 根據的均勻電子氣的理論提出著名的hohenberg-kohn 定理[1]，這個定理包含如下內容：
不計自旋的情況下，將粒子數密度函式表示成全同費公尺子系統的基態能量的唯一泛函；在粒子數不變的情況下，能量泛函對正確的粒子數密度取等於基態能量的極小值。因此，對於基態非間並多粒子系統，不考慮自旋的條件下，其哈密頓算符為
1-8)
式(1-8)中，外場作用看成原子核-電子作用，相同的局域勢對外場的作用用表示。對於給定的外場，多電子系統的能量表示成電子數密度的泛函為：
1-9)
1-10)
1-11)
1-12)
式中，包括體系中電子之間的相互作用能和電子的動能， 是外場對電子的作用能， 是系統中原子核間的排斥能。在式(1-10)中，前兩項表示無相互作用粒子模型的動能和庫侖排斥能，複雜的電子相互作用用交換關聯能表示。根據hohenberg-kohn 定理，假設能得到能量泛函e(ρ)，然後就能將電子數密度ρ變分，就能確定系統的基態和基態所有的性質，因此確定e(ρ)成為問題的關鍵所在，而要確定能量泛函e(ρ)，必須要確定動能泛函t[ρ]、電子數密度以及交換關聯泛函。
為了解決上述問題， 和 提出了如下假設：假定已知無相互作用的電子系統和未知的有相互作用的電子系統密度函式相同，未知的相互作用電子系統的動能泛函t[ρ]可用已知的無相互作用電子系統的動能泛函來代替；假定密度函式用n 個單電子波函式構成，於是有：
1-13)
則1-14)
對能量泛函進行變分得到
1-15)
1-16)
式(1-13)、(1-15)和(1-16)就是kohn-sham 方程。這個方程的核心就是有相互作用動能泛函能否用未知的無相互作用的動能泛函來代替。而將所有複雜問題都歸入中，所以求解kohn-sham 方程的關鍵是找到準確的，這樣密度泛函理論精確求解量子多體問題的中心是構造交換關聯泛函。
2．交換關聯能近似 ：
根據密度泛函理論，能將多電子的基態特性問題轉化成等效的單電子問題， 而其它所有複雜問題都歸結到交換關聯能泛函，但是交換關聯泛函是未知的。因此得到可靠並準確的交換關聯，成為求解kohn-sham 方程的關鍵。 和 提出了交換關聯泛函局域密度近似(lda，local density approximation)，其基本思想是：
在局域密度近似中，利用均勻電子氣密度函式來獲得非均勻電子氣密度泛函。對變化平緩的密度函式，非均勻交換關聯能密度用均勻電子氣代替，則可表示為：
1-17)
相應的局域交換關聯勢可以表示為：
1-18)
局域密度近似雖然在大多數的材料計算中顯示出巨大的成功，但是由於點r處的交換關聯作用僅依賴於點r處的近鄰和近鄰的電荷密度，因此，對於與均勻電子氣或空間變化緩慢的電子氣相差太遠的體統，lda 不適用。因此，人們對局域密度近似應用多種方法進行修正，應用較廣的是廣義梯度近似(gga)，其泛函與局域密度和密度梯度都有關[4]，因此能更好的描述真實體系的電子密度的不勻性，其交換關聯能密度泛函可表示為
1-19)
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