摘要本文通過建立優化模型，首先規劃綠地灌溉噴水龍頭有哪些布局方式以及以多大的噴射半徑進行噴射，才能夠使澆灌所使用的水的利用率最大，再針對不同布局下噴水龍頭的灌溉問題建立優化模型，為實際的綠地的澆灌中如何節省水資源提供了一定的依據噴水龍頭布局。
我們認為評判澆灌過程是否是節水的標準為：所有的噴水龍頭在該塊綠地的噴水面積與被澆灌的綠地的面積的差，並以此作為接下來的建立的優化模型的目標函式。澆灌的面積雖然很大，但噴水龍頭在一定的區域內以一定的規律分布，澆灌的過程是否節水也主要是看分布規則是否合理。
我們考慮了幾種可能的分布情況，並且對這幾種可能的分布情況建立相應的優化模型，並對這些優化模型求解，得出在這些不同規律的分布情況下的根據評判標準的節水效果。
我們先對等腰三角形的布局的噴水龍頭建立優化模型，該模型相對簡單，只需考慮邊長與角度之間的關係；
然後對以正方形規律布局的噴水龍頭建立優化模型，並且對該模型的進行了求解，因為該模型不涉及微積分的知識，我們通過化簡將對模型的求解轉化為對二次函式的求解，並得出在該布局下的最佳節水效果為
最後對以正六邊形布局的噴水龍頭優化模型進行求解；找到邊長與半徑的關係進行求解；
通過被灌溉面積一定，求出面積與邊長的關係，再求出目標函式。
一問題重述
城市公共綠地的澆灌是乙個長期大量的用水專案。隨著現代城市人們生活質量的提高，美化城市和建設綠色家園的需要，城市綠化帶正在擴大，用水量隨之不斷增大。因此，城市綠化用水的節約是乙個十分重要的問題。
如噴射龍頭的布局、噴射半徑的設定。
目前，對於綠地的澆灌用水主要有移動水車澆灌和安裝固定噴水龍頭旋轉噴澆兩種方式。移動水車主要用於道路兩側狹長綠地的澆灌，固定噴水龍頭主要用於公園，小區，廣場等觀賞性綠地。觀賞性綠地的草根很短，根系尋水效能差，不能蓄水，因此，噴水龍頭的噴澆區域要保證對綠地的全面覆蓋。
根據觀察，綠地噴水龍頭分布和噴射半徑的設定具有較大的隨意性。
問題一：噴水龍頭以什麼樣的方式進行布局。
對於噴澆龍頭在對綠地進行澆灌的過程當中的節約用水問題，首先由於整個綠地的形狀和大小是未知的，並且噴水龍頭的半徑是有限的，同時我們知道在實際的澆灌過程中，噴水龍頭都是按照一定的規則有規律的分布在整個綠地當中，因此對綠地的噴澆過程中的節水問題的建模主要是對分布規律的合理性的建模。
首先我們假設單位綠地需要的水量一定的情況下，將噴澆龍頭是否達到節水效果的標準記為，則可以定義為：每個噴水龍頭的覆蓋面積之和-綠地的面積，只要的值越小，則可以知道節水的效果越好。考慮到現實生活當中，綠地中的噴澆龍頭在綠地中的位置是呈現一定的規律的，因此在考慮建立模型的過程當中，我們主要是考慮了幾種可能的噴澆龍頭的布局方式，並且對在這幾種布局情況，建立相應的優化模型，顯然在這些優化模型中，噴射半徑是決策變數，為此求出其最佳的噴射半徑（即能夠使得當前布局的值最小的噴射半徑）及其值。
最後對比考慮到的幾種布局，選擇其中的值最小的布局作為我們建立的模型的最佳的布局。
1.模型中使用的噴水龍頭的噴射半徑是有限的且噴水龍頭旋轉方向可以控制；
2.噴射半徑可以任意調控；
3.綠地中噴水龍頭的布局是服從一定的規律的；
4.噴水龍頭噴出的水能夠均勻的覆蓋面積內的綠地；
5.綠地都是一些規則圖形。（本題設為正方形、三角形、正六邊形）；
6.綠地下的噴水管道可以任意設定，在綠地內可以任意設噴水龍頭；
7.所有的龍頭均完好可用。
p:節約用水的標準；
s1：被澆灌綠地的總面積；
s2：每個噴水龍頭覆蓋綠地面積的總和；
ri:第i個噴水龍頭澆灌的半徑；（i=1,2......）
a:正方形的邊長；
b:等腰三角形的腰長；
e:正六邊形的邊長；
2c：等腰三角形的底邊長；
t: 模型二使用的角度。
：六邊形噴射布局中噴射半徑；
第一部分：節水標準的定義
在噴澆龍頭的澆灌過程中，水的浪費主要是由不同噴澆龍頭的澆灌面積的互相的覆蓋與澆灌到不是綠地的地方導致的，所以我們可以認為在澆灌的過程當中，每個噴水龍頭所覆蓋的面積的總和與要澆灌的綠地的面積之差為節水量大小的標準，即：
p=s2—s1
第二部分：常見布局方式求最佳噴射半徑
（1）等腰三角形布局的優化模型
假設綠地中噴水龍頭的布局如圖1.1所示，則我們可以將綠地分成等大小的等腰三角形，則對整個綠地節水方法的求解可以轉變為對相同的每一小塊綠地節水方案的求解。
設等腰邊三角形中ab=ac=b，ab與ac的夾角為α，ba與bc的夾角為β，
顯然，最優點為三個圓相交的那一點，ad為bc邊上的中線，ad=d，bc=2c，圓a的半徑為r1，b、c的半徑為r2，噴澆龍頭在等腰三角形區域的布局如下圖1.2所示：
黑色aa
bdc圖1.1圖1.2
根據上圖1.2可得：
由此可以得到目標函式為：
並且可以知道約束條件為：
代入目標函式得：
(二)正方形布局的優化模型
假設綠地中噴水龍頭的布局如圖2.1所示，則我們可以將綠地分成等大小快的正方形，則對整個綠地節水方法的求解可以轉變為對相同的每一小塊綠地節水方案的求解。
設正方形的邊長為a，大圓噴射半徑為r1，小圓噴射半徑為r2，噴澆龍頭在正方形區域的布局如下圖2.2所示：
圖2.1圖2.2
根據上圖2.2可以計算出：
由此可以得到目標函式為：
p=s2－s1=－
2-1)
並且可以知道約束條件為：
假設根據圖2.1可以得到如下的等式：
帶入式（2-1）可得：
(2-2)
(三) 正六邊形布局的優化模型
如同模型一，我們假設噴水龍頭的布局如圖3.1所示，則我們可以將綠地分成等大小快的正方形，則對整個綠地節水方法的求解可以轉變為對相同的每一小塊六邊形綠地節水方案的求解。並且由圖3.
1我們可以看出要達到所有的綠地都被澆灌的目的的，則所有的噴水龍頭的噴射半徑都是相同的，並且都經過六邊形的圓心。
圖3.1圖3.2
設六邊形的邊長為e，則可知=e。由上圖3.2可以求得
由此可以得到目標函式為：
3-1)
面積s1一定，則對等腰三角形規律布局有：
s1=cd；
對正方形規律布局的噴水龍頭有：
對正六邊形規律布局的噴水龍頭：
(1) 等腰三角形布局的模型求解：
因為當時，p取到最小值；
(二) 正方形布局的模型求解：
因為的最小值是3/4;所以p的最小值是
(3) 正六邊形布局的模型求解：
p的最小值是：
本文通過建立簡單優化模型，對於綠地澆灌過程當中如何節省水資源這一問題進行了基本的回答，通過將對整塊綠地的澆灌問題轉化為對相同的每一小塊的綠地的澆灌問題，使問題的求解轉變為在一塊小綠地上如何布局水龍頭並進行優化的問題，並考慮了幾種可能的布局方式，進行了相關的優化。得出的結果是比較好的。
但是本文並沒有對如何進行布局的選取以及選取該種方式的布局的原因給出回答，導致所建立的模型僅僅能夠對選取的布局方式進行考慮，這一點需要改進的地方。
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