第一章證明（二）
一、公理（1）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊邊邊」或「sss」）。
（2）兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「邊角邊」或「sas」）。
（3）兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角邊角」或「asa」）。
（4）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成「角角邊」或「aas」）。
二、等腰三角形
1、等腰三角形的性質
（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）
（2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。
等腰三角形的其他性質：
①等腰直角三角形的兩個底角相等且等於45°
②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。
③等腰三角形的三邊關係：設腰長為a，底邊長為b，則④等腰三角形的三角關係：設頂角為頂角為∠a，底角為∠b、∠c，則∠a=180°—2∠b，∠b=∠c=
2、等腰三角形的判定
(1)如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。
(2)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
三、等邊三角形
性質：（1）等邊三角形的三個角都相等，並且每個角都等於60°。
（2）三線合一
判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形
（3）：有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
四、直角三角形
（一）、直角三角形的性質
1、直角三角形的兩個銳角互餘
2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
3、直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
4、勾股定理：直角三角形兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即
其它性質：
1、直角三角形斜邊上的高線將直角三角形分成的兩個三角形和原三角形相似。
2、常用關係式：由三角形面積公式可得：兩直角邊的積=斜邊與斜邊上的高的積
（二）、直角三角形的判定
1、有乙個角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長a，b，c有關係，那麼這個三角形是直角三角形。
（三）直角三角形全等的判定：
對於特殊的直角三角形，判定它們全等時，還有hl定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）
五、角的平分線及其性質與判定
1、角的平分線：從乙個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
2、角的平分線的性質定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
定理：三角形的三條角平分線相交於一點，並且這一點到三條邊的距離相等。
3、角的平分線的判定定理：
在乙個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。
六、線段垂直平分線的性質與判定
1、線段的垂直平分線：垂直於一條線段並且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線。
線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。
定理：三角形三條邊的垂直平分線相交於一點，並且這一點到三個頂點的距離相等。
線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
七、反證法
八、互逆命題、互逆定理
1、在兩個命題中，如果乙個命題的條件和結論分別是另乙個命題的結論和條件，那麼這兩個命題稱為互逆命題，其中乙個命題稱為另乙個命題的逆命題。
2、如果乙個定理的逆命題經過證明是真命題，那麼它也是乙個定理，這兩個定理稱為互逆定理，其中乙個定理稱為另乙個定理的逆定理。
第二章一元二次方程
一、一元二次方程
（一）、一元二次方程定義
含有乙個未知數，並且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
（二）、一元二次方程的一般形式
，它的特徵是：等式左邊是乙個關於未知數x的二次多項式，等式右邊是零，其中叫做二次項，a叫做二次項係數；bx叫做一次項，b叫做一次項係數；c叫做常數項。
二、一元二次方程的解法
1、直接開平方法
直接開平方法適用於解形如的一元二次方程。當時，，；當b<0時，方程沒有實數根。
2、配方法
一般步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式
（1） 方程兩邊同時除以a,將二次項係數化為1.
（2） 將所得方程的常數項移到方程的右邊。
（3） 所得方程的兩邊都加上一次項係數一半的平方
（4） 配方，化成
（5）開方。當時，；當b<0時，方程沒有實數根。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：
4、因式分解法
一元二次方程的一邊另一邊易於分解成兩個一次因式的乘積時使用此方法（主要包括「提公因式」和「十字相乘」）。
補充1：一元二次方程根的判別式
根的判別式
1、定義：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式。
2、性質：當＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當＝0時，方程有兩個相等的實數根；當＜0時，方程沒有實數根。
補充2：一元二次方程根與係數的關係
如果方程的兩個實數根是，那麼，。
補充3：一元二次方程的根與係數的關係的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
⑤其他能用或表達的代數式。
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程的根
三、利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數；②尋找等量關係
第三章證明（三）
一、平行四邊形
1、平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
2、平行四邊形的性質
（1）平行四邊形的對邊平行且相等。
（2）平行四邊形相鄰的角互補，對角相等
（3）平行四邊形的對角線互相平分。
（4）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。
常用點：（1）若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段的中點是對角線的交點，並且這條直線二等分此平行四邊形的面積。
（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
3、平行四邊形的判定
（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
（2）定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
（3）定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
（4）定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（5）定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
4、平行四邊形的面積
s平行四邊形=底邊長×高=ah
二、矩形
1、矩形的定義
有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2、矩形的性質
（1）矩形的對邊平行且相等
（2）矩形的四個角都是直角
（3）矩形的對角線相等且互相平分
（4）矩形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到矩形四個頂點的距離相等）；對稱軸有兩條，是對邊中點連線所在的直線。
3、矩形的判定
（1）定義：有乙個角是直角的平行四邊形是矩形
（2）定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形
（3）定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形
4、矩形的面積
s矩形=長×寬=ab
三、菱形
1、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質
（1）菱形的四條邊相等，對邊平行
（2）菱形的相鄰的角互補，對角相等
（3）菱形的對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角
（4）菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點（對稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。
3、菱形的判定
（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（3）定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
4、菱形的面積
s菱形=底邊長×高=兩條對角線乘積的一半
四、正方形 （3~10分）
1、正方形的定義
有一組鄰邊相等並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
2、正方形的性質
（1）正方形四條邊都相等，對邊平行
（2）正方形的四個角都是直角
（3）正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角
（4）正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四條，是對角線所在的直線和對邊中點連線所在的直線。
3、正方形的判定
判定乙個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：
先證它是矩形，再證它是菱形。
先證它是菱形，再證它是矩形。
4、正方形的面積
設正方形邊長為a，對角線長為b
s正方形=
五、等腰梯形
1、等腰梯形的定義
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性質
（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。
（2）等腰梯形同一底上的兩個角相等，同一腰上的兩個角互補。
（3）等腰梯形的對角線相等。
（4）等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。
3、等腰梯形的判定
（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
（3）對角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）
六、三角形中的中位線
1、三角形的中位線：連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半。
3、常用結論：任乙個三角形都有三條中位線，由此有：
⑴三條中位線組成乙個三角形，其周長為原三角形周長的一半。
⑵三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。
⑶三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。
⑷三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。
⑸三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。
七、有關四邊形四邊中點問題的知識點：
（1）順次連線任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；
（2）順次連線矩形的四邊中點所得的四邊形是菱形；
（3）順次連線菱形的四邊中點所得的四邊形是矩形；
（4）順次連線等腰梯形的四邊中點所得的四邊形是菱形；
（5）順次連線對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；
北師大版九年級上冊知識點
北師大版九年級數學定理知識點彙總 第一章證明 二 等腰三角形的 三線合一 頂角平分線 底邊上的中線 底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中乙個銳角等於30，這它所對的直角邊必然等於斜邊的一半。有乙個角等於60的等腰三...
北師大版數學九年級上冊知識點總結
第一章證明 二 一 公理 1 三邊對應相等的兩個三角形全等 可簡寫成 邊邊邊 或 sss 2 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等 可簡寫成 邊角邊 或 sas 3 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等 可簡寫成 角邊角 或 asa 4 全等三角形的對應邊相等 對應角相等。推論 兩角及其中一角的對邊...
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九年級上冊 第一章證明 二 1 2頁 公理三邊對應相等的兩個三角形全等。sss 公理兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。sas 公理兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。asa 公理全等三角形的對應邊相等 對應角相等。推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。aas 2 3頁 定理等腰三角...