winnie the pooh 解題報告
中山一中馮齊緯題目描述
小熊維尼很喜歡蜂蜜。但是大千世界上有很多種蜂蜜。維尼吃一罐蜂蜜需要若干整天。兩罐同種的蜂蜜吃起來所花的時間是一樣的。然後小熊的問題就是要你應付下面一些事件：
一、發現新蜂蜜！姑且暫時給它乙個編號。所有種類蜂蜜按出現時間編號依次為1，2，…
二、維尼說，說他吃a1罐第1類的蜂蜜，吃a2罐第二類的蜂蜜，…，吃a k 罐第k類的蜂蜜（假設現在知道的蜂蜜有k種吧），要從星期s到星期e…
三、維尼計畫吃a1罐第1類的蜂蜜，吃a2罐第二類的蜂蜜，…，吃a k罐第k類的蜂蜜，現在是星期s，那麼他要吃到星期幾呢？
輸入第一行為事件數，接著每個事件表述為：
add，或
learn a0a1a2…a k s e，或
eat a0a1a2…a k s。
對每個eat詢問輸出一行，表示維尼要吃到星期幾。如果不確定則輸出don』t know，如果前面維尼說的話已經矛盾了則輸出already crazy。
樣例如下：
題目**
timus online judge, problem 1561, winnie the pooh
分析設吃第i類蜂蜜要x i天，對每個learn操作，相當於是增加了乙個方程：a1x1+a2x2+…+a k x k=b (mod 7)
不同於一般方程組的是，本題中所考慮的所有方程組均是在模7意義上的。
那麼，需要支援的操作就是：
1)新建乙個未知數
2)插入乙個方程
3)求乙個一次多項式的值
如果直接模擬，不難得出這樣乙個演算法：
1)對新建未知數操作，直接完成
2)對插入方程操作，直接完成
3)求乙個多項式的值時，首先列舉它的值，接著將該多項式連同列舉的
值作為乙個方程加入，嘗試高斯消元，如果存在解則表示當前列舉的
值合法。最後，通過解的數目回答問題。
但是該實現方法的第三個操作的時間複雜度是o(n3)，無法承受。
事實上，我們每一次都進行高斯消元，其中的浪費是相當大的。設當前有m 個方程，且當前方程組為：
a11x1+a12x2+…+a1k x k = b1 (mod 7)
a21x1+a22x2+…+a2k x k = b2 (mod 7)
a31x1+a32x2+…+a3k x k = b3 (mod 7)
…a m1x1+a m2x2+…+a mk x k =
b m (mod 7)
若當前方程組已經是經過高斯消元的，即對j這樣，每一次learn操作可在o(n2)的時間內完成。
再考慮到詢問操作。可以先列舉答案，然後按相同的方法試圖消元求解，判斷可行性。但是這樣的代價太高，我們試圖優化冗餘運算。
還是從直接列舉上尋找突破口。假設當前列舉的答案是p，那麼新的方程是a1x1+a2x2+…+a k x k=p (mod 7)
然後，考慮每次消元。設用來消新建方程第乙個非0係數項是i，該方程為
a ii x i+…+a ik x k =
b i則消元時，新方程變為：
(a1*a ii)x1+(a2*a ii)x2+…+(a i*a ii-a ii*a i)x i+…+(a k*a ii-a ik*a i)x k=p*a ii-b i*a i 可以發現，消元過程後x的係數與p值無關，而常數項（等式右邊）最終結果必能表示為ap+b的形式。在判斷可行性時，我們可以姑且設出初始的p值，消元過後得到a和b，這時如果仍有非0係數項則必然有多解，否則，再列舉[0,6]中的值尋找滿足ap+b的p，如果存在多個則詢問有多解，如果存在乙個則有唯一解，如果不存在則無解。
該操作同樣經歷了對乙個方程的消元過程，時間複雜度仍然是o(n2)。消元只會改變當前方程，之前的方程組內容不發生變化。
問題至此已經基本解決。雖然演算法的時間複雜度為o(n3)，但我們可以分析一下運算次數：
比起一次詢問，一次插入方程的操作會使程式整體執行時間更長，那不妨設有t次插入未知數操作，1000-t次插入方程的操作。則總運算次數
t = t+[t+2t+…+(1000-t)t] < (1000-t)2t ≤1
2(1000t+1000t+2t
3)3= 1.5*108
這個上限極難達到，並且由於問題的特殊性，演算法的實際執行效率還是很高的，能夠通過本題的官方測試。
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