5.研究將鹿群放入草場後草和鹿兩種群的相互作用。草的生長遵從logistic規律，年固有增長率0.
8，最大密度為3000（密度單位），在草最茂盛時每只鹿每年可吃掉1.6（密度單位）的草。若沒有草，鹿群的年死亡率高達0.
9，而草的存在可使鹿的死亡得以補償，在草最茂盛時補償率為1.5。作一些簡化假設，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數量的變化過程，就以下情況進行討論：
（1）比較將100隻鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況。
（2）適當改變引數，觀察變化趨勢。
解：設1．草獨立生存，獨立生存規律遵從logistic規律；
2．草場上除了鹿以外，沒有其他以草為食的生物；
3．鹿無法獨立生存。沒有草的情況下，鹿的年死亡率一定；
4．假定草對鹿的補償率是草場密度的線性函式；
5．每只鹿每年的食草能力是草場密度的線性函式。
記草的固有增長率為r，草的最大密度為n，鹿獨立生存時的年死亡率為d，草最茂盛時鹿的食草能力為a，草對鹿的年補償作用為b；第k＋1年草的密度為 ，鹿的數量為 ，第k年草的密度為 ，鹿的數量為 。
草獨立生存時，按照logistic規律增長，則此時草的增長差分模型為 ，但是由於鹿對草的捕食作用，草的數量會減少，則滿足如下方程：
（ ） （1）
鹿離開草無法獨立生存，因此鹿獨立生存時的模型為 ，但是草的存在會使得鹿的死亡率得到補償，則滿足如下差分方程：
（ ） （2）
另外，記初始狀態鹿的數量為 ，草場密度初值為 。
各個引數值為：
， ， ， ，
利用matlab程式設計序分析計算該差分方程模型，源程式如下：
%定義函式diwuti，實現diwuti-logistic綜合模型的計算，計算結果返回種群量
function b =diwuti(x0,y0,r,n,b,a,d,n) % 描述diwuti-logistic綜合模型的函式
x(1) = x0; % 草場密度賦初值
y(1) = y0; % 鹿群數量賦初值
for k = 1 : n;
x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/n)*x(k) - a*x(k)*y(k)/n;
y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/n)*y(k);
endb = [x;y];
clear all
c1 =diwuti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);
c2 = diwuti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);
k = 0 : 50;
plot(k,c1(1,:),'b',k,c1(2,:),'b',k,c2(1,:),'r',k,c2(2,:),'r',),...
axis([0 50 0 3000]);
xlabel('時間/年')
ylabel('種群量/草場：單位密度，鹿：頭')
title('圖1.草和鹿兩種群數量變化對比曲線')
gtext('x0=1000')
gtext('x0=3000')
gtext('草場密度')
gtext('鹿群數量')
》比較將100隻鹿放入密度為1000和密度為3000的草場兩種情況（繪製曲如圖1所示）：
由圖中可以看到，藍色曲線代表草場密度的初始值為1000時，兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場密度的初始值為3000時，兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變情況，可以發現大約40-50年左右時間後，兩種群的數量將達到穩定。
使用matlab計算可以得到，當 ，即兩種群數量的平衡點為（1800，600）。
為進一步驗證此結論，下面通過改變相關引數，研究兩種群變化情況，找到影響平衡點的因素：
（1）改變草場密度初始值；
從圖2中可以看到，改變草場的初始密度不會對兩種群數量的平衡點造成影響。
（2）改變鹿的數量初值
由圖2可以看到，鹿初始的數量的改變在理論上也不會改變最終種群數量的平衡值。
但是，我們可以看到，y0=2000的那條曲線（紫色曲線），在5－15區間內降低到了非常小的值，這顯然是不符合鹿的現實繁殖規律的，因為鹿的種群可持續繁殖的最小數量是存在域值的。當種群數量低於這個值時，在實際情況下，鹿的種群就要滅絕。
同樣道理，草場的密度也存在乙個最小量的域值，低於這個閾值，草也將滅絕。
綜合上面分析，可以在此得出乙個結論：最大密度一定的草場所能承載的鹿的數量存在上限。
（3）改變草場的最大密度n，畫圖比較結果；
如圖4所示，如果草場密度的最大值n發生變化，則最終兩種群數量的平衡點也會發生相應的變化。結論：n值越大，平衡點兩種群的數量就越大；n越小，平衡點兩種群的數量就越小。
（4）改變鹿群獨立生存時的死亡率
實驗中，改變了鹿單獨生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖，可以得出結論：
鹿單獨生存的死亡率越大，則兩種群數量達到平衡點的時間越短；相反，鹿單獨生存的死亡率越小，則兩種群數量達到平衡點的時間越長（甚至有可能會出現分叉、混沌）。
（5）草場密度對鹿數量的補償作用變化（b變化）
從圖中可以看到，如果b增大，則達到穩定點的時間會加長，但如果b減小則會有乙個域值，當b低於域值時，草－鹿種群數量的平衡時將不收斂於同乙個平衡點，出現多值性。
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