一位美國數學教授趣味性教學的啟示
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2009-5-13 16:06:28
數學歷來是許多中小學生頭痛的一門課程，就連許多攻讀史丹福大學工商管理碩士（mba）的堪稱聰明絕頂的研究生們，對高深枯燥的數學也懷有不同程度的恐懼感。那麼如何消除學生對數學的這種畏懼感，就是擺在授課教師面前的一道難題。美國史丹福大學商學院數學教授庫珀採取趣味性教學，很輕鬆地解決了這個難題。
在一次授課時，庫珀教授這樣開始了他的開場白：「你們中有許多人覺得數學很陌生，很難懂。我打算暫時先離開我們的課程，給你們講個例子，讓你們明白數學是多麼有用。」
「如果你手上有一張紙，你把它對折一下，再對折一下，一直對折32次，這張紙會成為多厚的一疊？」
他叫前排的一位女生回答。她說：「我想可能是兩英吋左右吧。」「錯了。」庫珀教授笑了。
「是一英呎厚吧？」乙個男生回答。「又錯了。」庫珀繼續詢問另一些同學。「兩英呎？」「3英呎？」……同學們都胡亂猜測著，庫珀教授仍然搖著頭。
「正確的答案是——271英里厚！是不是很吃驚？你們看？」
庫珀轉身在黑板上寫下了計算的過程，然後仔細地給同學們講解道：
一令紙=500張=2英吋厚（令是紙張的計量單位），也就是，一張紙厚度為2／500即0 004英吋。對折一次，一張紙成為2張紙；對折2次，成了4張紙；對折3次，就成了8張紙厚。2、4、8可以用21、22、23表示，那麼折了32次之後，紙的層數就是232，也就是4 294 967 296張紙的厚度，用這個數乘以每張紙的厚度0 004英吋，就等於17 179 869英吋，化為英呎是1 431 655英呎，再化為英里是271英里。
然後庫珀教授總結說：「先生們，女士們，靠直覺是得不到正確的答案的，但乙個簡單的等比數列卻很容易馬上得到答案。」說得同學們心悅誠服，一下子感受到了數學的神奇魅力。
為什麼庫珀先生的授課能產生這麼好的效果呢？我想就是因為他把高深的數學知識隱藏在乙個簡單的遊戲之中，用乙個類似於相聲中「抖包袱」的手法，一步一步領學生們進入正題。摺紙的遊戲，同學們在幼兒園時就玩過，庫珀教授正是從這個人人都會的遊戲入手，把大家引入乙個自以為是的「陷阱」，待大家都被蒙在其中時，突然抖出乙個完全出乎人們想象的答案，引起同學們的好奇與關注，然後才開始用真正的數學語言，經過縝密的演算與推導，證明自己給出答案的根據。
最後用簡潔的語言告誡大家，不能靠直覺而是要靠嚴密的數學邏輯，才能得到真理。這樣又帶領大家從具體的運算中跳出來，從巨集觀上認識數學的本質，引發同學們的思考。這樣乙個由現象到本質、由淺顯到深刻的講授過程，既符合一般的認識規律，同時又生動活潑，別具一格，不能不給人留下難忘的印象。
庫珀教授總是善於給枯燥的數學課加進樂趣。一天下午，庫珀教授讓同學們把自己的生日寫在小紙片上，然後把所有的小紙片都摺起來放在講台上。他拿出一張5美元的鈔票：
「我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生。有人敢跟我賭嗎？」
「我賭！」有三個男同學馬上舉起手來。另外又有七八個同學也掏出5美元扔在桌子上。
有的同學暗想：一年365天，我們班只有50名同學，同一天生日的可能性也太小了。庫珀這不是白送別人錢嗎？
庫珀教授開啟第一張紙，讀出上面寫的日期，馬上就有三個同學舉起手表示是他們的生日。打賭的同學嘟噥了幾句：「怎麼會這麼巧？」周圍的同學都大笑起來。
庫珀又一次用他那明晰的語言把同學們帶入了數學王國裡：
「解決這個問題最好是用反證法，即先證明50個人沒有2個人同一天生日的概率非常之小。
「我們可以把365天看作是365個房間，現在要給50個人按照生日安排住房，要保證沒有兩個人住在同一間房。（也就是沒有兩個人同一天生日）對於第乙個人來說，他選擇房間的概率是365／365，也就是1，因為所有的房間都是空的，他都可以入住。第乙個人住進去後，第2個人要安排住房，這時他選擇的概率就是364／365了，因為已經有一間房住了人，只能住另外364間。
接下來的第3個人，選擇的概率就更小一些，363／365，因為只剩下363間房可以住。
「按這種演算法，只有當每一人住的房間都不同時，才能滿足沒有兩個人同住一間房的要求。50個人住房的概率依次為365／365，364／365，……（365－50＋1）／365。
「用計算器計算出這個式子等於0 03，也就是說沒有兩個人同住一房的概率是3％。在我們這個問題中，表示你們50個人中沒有兩個同一天生日的概率只有3％，那麼至少有兩人同一天生日的概率就是97％。而我贏的把握足足有九成以上。
」說完，庫珀扔下粉筆，得意洋洋地收繳他的勝利品——十幾張5美元鈔票。
「各位，你們來商學院就是為了將來能夠賺大錢，數學就是商學院傳授給你們的乙個制勝法寶。」
這個例子和上例有異曲同工之妙，都是先設機關，引人入彀，然後再揭開謎底，用數學邏輯與運算加以證明。所不同的，是庫珀教授用形象化的比喻手法，把365天比作365個房間，把要50個人不在同一天生日，比作要50個人不住同一間房，這樣一一對應作比，把比較抽象的數學變成了具體可感的事物，使同學們容易聽清楚他的推導過程，從而完全理解他的講解。即使是不懂概率論的人，也可以明白他的推理，在大腦中對概率論留下乙個大概的印記。
這就是庫珀教授深入淺出的講課藝術所達到的神奇效果。
縱觀庫珀的講課藝術，他最鮮明的特點，就是善於從平常的生活現象出發，將數學內容融入其中，把乾巴巴的數學理論講活了，把沉悶的課堂氣氛搞活了，把學生們對數學的畏難情緒徹底打消了。所以我們廣大從事中小學數學教學的老師們，也應該從中受到一點有益的啟示，把我們的數學課堂也變成學生們的樂園。
本文資料引自《斯坦福學得到》一書）
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