軌跡方程的若干求法
一、直接法
直接根據等量關係式建立方程.
例1 已知點，動點滿足，則點的軌跡是（ ）
ａ．圓橢圓雙曲線拋物線
解析：由題知，，
由，得，即，
點軌跡為拋物線．故選ｄ．
二、定義法
運用有關曲線的定義求軌跡方程．
例2 在中，上的兩條中線長度之和為39，求的重心的軌跡方程．
解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角座標系，如圖1，為重心，則有．
點的軌跡是以為焦點的橢圓，
其中．．
所求的重心的軌跡方程為．
注意：求軌跡方程時要注意軌跡的純粹性與完備性.
三、轉代法
此方法適用於動點隨已知曲線上點的變化而變化的軌跡問題.
例3 已知△abc的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程．
解：設，，由重心公式，得
又在拋物線上，． ③
將①，②代入③，得，
即所求曲線方程是．
四、引數法
如果不易直接找出動點的座標之間的關係，可考慮借助中間變數（引數），把x，y聯絡起來．
例4 已知線段，直線垂直平分於，在上取兩點，使有向線段滿足，求直線與的交點的軌跡方程．
解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角座標系．
設點，則由題意，得．
由點斜式得直線的方程分別為．
兩式相乘，消去，得．
這就是所求點m的軌跡方程．
評析：引數法求軌跡方程，關鍵有兩點：一是選參，容易表示出動點；二是消參，消參的途徑靈活多變.
五、待定係數法
當曲線的形狀已知時，一般可用待定係數法解決.
例5 已知ａ，ｂ，ｄ三點不在一條直線上，且，，，
．（1）求點軌跡方程；
（2）過作直線交以為焦點的橢圓於兩點，線段的中點到軸的距
離為，且直線與點的軌跡相切，求橢圓方程．
解：（1）設，由知為中點，易知．
又，則．
即點軌跡方程為；
（2）設，中點．
由題意設橢圓方程為，直線方程為．
直線與點的軌跡相切，
，解得．
將代入橢圓方程並整理，得，
， 又由題意知，即，解得．
故所求的橢圓方程為．
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