橢圓、雙曲線的對偶性質
1．（1）橢圓中，pt平分△pf1f2在點p處的外角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.
證明：延長f2h至m，交pf1於m ∵pt平分∠mpf2 ，
又f2h⊥pt，∴
又，∴.
∴h軌跡是以長軸為直徑的圓，除長軸端點.
（2）雙曲線中，pt平分△pf1f2在點p處的內角，則焦點在直線pt上的射影h點的軌跡是以實軸為直徑的圓，除去實軸的兩個端點.
證明：延長f1h到m，交pf2於m，則，
又，∴又h、o為mf1、f1f2中點，
∴oh∴ h點的軌跡是以實軸為直徑的圓，除去實軸的兩個端點.
2．（1）橢圓中，以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相離.
證明：設pq中點s，作pm⊥l於m，sa⊥l於a，qn⊥l於n
∴以pq為直徑的圓必與對應準線相離.
（2）雙曲線中，以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相交.
證明：pb為焦點弦，s為pq中點，作於c
於m，於d則∴
∴以pq為直徑的圓必與對應準線相離.
注：拋物線中，以焦點弦pq為直徑的圓必與對應準線相切.
3．（1）橢圓中，橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.
證明：如圖，設以焦半徑mf2為直徑的圓的半徑為r1，圓心為o1，
由橢圓定義知
∴ ∴⊙o、⊙o1相內切
（2）雙曲線焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以雙曲線實軸為直徑的圓相外切(或內切).
證明：以焦半徑mf2為直徑的圓的半徑為r1，圓心為o1；以mf1為直徑的圓的半徑為r2，圓心為o2，
由雙曲線定義知
∴，∴圓o1與圓o外切
又 ∴，
∴圓o2與圓o內切
4．（1）設a1、a2為橢圓的左、右頂點，則△pf1f2在邊pf2（或pf1）上的旁切圓，必與a1a2所在的直線切於a2（或a1）.
證明：設旁切圓切軸於，切於m，f1p於n，
則 ∴
∴與a2重合.
（2）設a1、a2為雙曲線的左、右頂點，則△pf1f2的內切圓，必與a1a2所在的直線切於a2（或a1）.
證明：設切x軸於點，與切於m，pf2切於n
∵∵|pm|=|pn|,|mf1|,|nf2|=∴又
∴，∴重合.
注：可知，圓心在直線或直線上.
5．（1）橢圓（a＞b＞o）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓於p1、p2時，a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
證明：設交點，，
∵ ，∴
又 ∴，即軌跡方程為
（2）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交雙曲線於p1、p2時a1p1與a2p2交點的軌跡方程是.
證明：設交點
∵ ，∴
又， ∴ 即
*6．（1）若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.
證明：求導可得： ∴，
∴切線方程：
∴（2）若在雙曲線（a＞0,b＞0）上，則過的雙曲線的切線方程是.
證明：求導可得：，切線方程
7．（1）若在橢圓外 ，則過p0作橢圓的兩條切線，切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
證明：設，，則過點切線分別為
∵在上 ∴，
∴過p1，p2方程
（2）若在雙曲線（a＞0,b＞0）外 ，則過p0作雙曲線的兩條切線切點為p1、p2，則切點弦p1p2的直線方程是.
證明：設，則過切線分別為，
∵在上 ∴，
∴過方程
8．（1）ab是橢圓的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則.
證明：設則
又 ∴（2）ab是雙曲線（a＞0,b＞0）的不平行於對稱軸且不過原點的弦，m為ab的中點，則.
證明：設，則，
又，∴9．（1）若在橢圓內，則被p0所平分的中點弦的方程是.
證明：設中點弦交橢圓乙個定點為a，則另乙個為b
∴① ， ②
①－②得：
又∴弦ab方程為
證明二：由第9題得：，
∴弦ab方程為
（2）若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則被p0所平分的中點弦的方程是.
證明：設中點弦交雙曲線乙個交點a，則另乙個b
∴ 又k弦，
∴方程為
10．（1）若在橢圓內，則過p0的弦中點的軌跡方程是.
證明：設弦交橢圓於，中點.
∴ 即.
（2）若在雙曲線（a＞0,b＞0）內，則過p0的弦中點的軌跡方程是.
證明：設弦與雙曲線交於，中點，即
11．（1）過橢圓(a＞0, b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
證明：設兩直線與橢圓交於點.
由題意得①＝②
∴，展開③－④得：（定值）
（2）過雙曲線（a＞0,b＞o）上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線於b,c兩點，則直線bc有定向且（常數）.
證明：設兩直線與雙曲線交於點，則
由題意得①＝－②
∴展開③－④（定值）
12．（1）橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為f1，f 2，點p為橢圓上異於長軸端點的任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為；； .
證明：設，，則.
由餘弦定理，.，
∴（2）雙曲線（a＞0,b＞o）的左右焦點分別為f1，f 2，點p為雙曲線上異於頂點任意一點，則雙曲線的焦點三角形的面積為；； .
證明：設，，，
∴13．（1）若p為橢圓（a＞b＞0）上異於長軸端點的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則.
證明：設. ， ①
又 ②由①、②得：
（2）若p為雙曲線（a＞0,b＞0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1, f 2是焦點, ,，則（或）.
證明：設p在左支，，
① ②
由①、②得：
同理，p在右支時，
14．（1）橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,.( ,，).
證明：橢圓上點m到左右準線距離，，∴
（2）雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：(,，
,.當時，取「+」；當時，取「－」.
證明：若m在右支，則m到左準線距離，，
若m在左支，則，，
15．（1）p為橢圓（a＞b＞0）上任一點,f1、f2為左、右焦點，a為橢圓內一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.
證明：若a、f2、p不共線，
在△apf2中
∴， 當a、p、f2共線時取等號.
（2）p為雙曲線（a＞0,b＞0）上任一點,f1,f2為左、右焦點，a為雙曲線內一定點，則,當且僅當三點共線且和在y軸同側時，等號成立.
證明：若a、p、f2不共線，在中∴
當且僅當p和a、f2在y同側且共線時，，
此時16．（1）橢圓（a＞b＞0）上存在兩點關於直線：對稱的充要條件是.
分析：該問題等價於在橢圓上找兩點，過這兩點直線，斜率為，其中垂線為則。
證明：設方程為即，中點為
得代入，又△＞0，∴
注：還可以用點差法.
（2）雙曲線（a＞0,b＞0）上存在兩點關於直線：對稱的充要條件是.
證明：該問題等價於在雙曲線找兩點，過這兩點直線，斜率為， 其中垂線為，則
設方程為代入，
得，中點為，
則可以寫成代入
得，即其中代入①，得
17．（1）p是橢圓（a＞b＞0）上一點，則點p對橢圓兩焦點張直角的充要條件是.
證明：,，， ∴
又，∴（2）p是雙曲線（a＞0，b＞0）上一點，則點p對雙曲線兩焦點張直角的充要條件是.
證明：設，雙曲線方程為，
設焦半徑為c，,焦點，，
∴，即18．（1）已知橢圓（ a>b>0）和（），一直線順次與它們相交於a、b、c、d四點，則│ab│=|cd│.
證明：設直線方程為,
視作的特殊情況.
弦中點座標與無關.
而 ∴與無關.∴線段中點重合.
（2）已知雙曲線（a＞0,b＞0）和（），一條直線順次與它們相交於a、b、c、d四點，則│ab│=|cd│.
證明：設直線方程為，代入雙曲線方程
視作的特殊情況
弦中點座標與無關
∴與無關，∴、的中點同為t，且
∴19．（1）已知橢圓（ a＞b＞0）,a、b、是橢圓上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則.
證明：設a為b為∴∵
（2）已知雙曲線（a＞0,b＞0）,a、b是雙曲線上的兩點，線段ab的垂直平分線與x軸相交於點, 則或.
證明：設a為，b為，由點差法得： ①
又有：，由①得，∴顯然或
橢圓與雙曲線的對偶性質必背的經典結論
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