四資料處理、測量誤差及不確定度
(一) 資料處理
1．有效數字
(1)(末)的概念
所謂(末)，指的是任何乙個數最末一位數字所對應的單位量值。例如：用分度值為1mm的鋼捲尺測量某物體的長度，測量結果為19．8mm，最末一位的量值o．8mm，即為最末一位數字8與其所對應的單位量值0．1mm的乘積，故19．8mm的(末)為
(2)有效數字的概念
人們在日常生活中接觸到的數，有準確數和近似數。對於任何數，包括無限不迴圈小數和迴圈小數，擷取一定位數後所得的即是近似數。同樣，根據誤差公理，測量總是存在誤差，測量結果只能是乙個真值的估計值，其數字也是近似數。
例如：將無限不迴圈小數pi=3.14159……擷取到白分位，可得到近似數3.14 ，則此時引起的誤差絕對值為
|3．14—3．14159……|=0．00159……
近似數3．14的(末)為0．01，因此0．5(末)=0．5×0．01=0．005，而0·00159……<0．005，故近似數3．14的誤差絕對值小於0．5(末)。
由此可以得出關於近似數有效數字的概念：當該近似數的絕對值誤差小於0.5(末)時,從左邊的第乙個非零數字算起,直到最末一位數字為止的所有數字.
根據這個概念3.14有3位有效數字.
測量結果的數字，其有效位數代表結果的不確定度。例如：某長度測量值為19．8mm，有效位數為3位；若是19．80ram，有效位數為4位。
它們的絕對誤差的模分別小於0·5(末)，即分別小於0．05ram和0．005mm。
顯而易見，有效位數不同，它們的測量不確定度也不同，測量結果19．80mm比19．8mm的不確定度要小。同時，數字右邊的「0」不能隨意取捨，因為這些「0」都是有效數字。
2．近似數運算
(1)加、減運算
如果參與運算的數不超過10個，運算時以各數中(末)最大的數為準，其餘的數均比它多保留一位，多餘位數應捨去。計算結果的(末)，應與參與運算的數中(末)最大的那個數相同。若計算結果尚需參與下一步運算，則可多保留一位。
例如：18．3ω+1．4546ω+0.87612ω
18．3ω+1．45ω+0．88ω≈20．63ω≈20．6ω
計算結果為20．6ω。若尚需參與下一步運算，則取20．63ω。
(2)乘、除(或乘方、開方)運算
在進行數的乘除運算時，以有效數字位數最少的那個數為準，其餘的數的有效數字均比它多保留一位。運算結果(積或商)的有效數字位數，應與參與運算的數中有效數字位數最少的那個數相同。若計算結果尚需參與下一步運算，則有效數字可多取一位。
例如：1．1m×0．3268m×0．10300m
1．1m×0．327mx0．103m=0．0370m3≈0．037m3
計算結果為0．037m3。若需參與下一步運算，則取0．0370m3。
乘方、開方運算類同。
3．資料修約
(1)資料修約的基本概念
對某一擬修約數，根據保留數字的要求，將其多餘位數的數字進行取捨，按照一定的規則，選取乙個其值為修約間隔整數倍的數(稱為修約數)來代替擬修約數，這一過程稱為資料修約，也稱為數的化整或數的湊整。為了簡化計算，準確表達測量結果，必須對有關資料進行修約。
修約間隔又稱為修約區間或化整間隔，它是確定修約保留位數的一種方式。修約問隔一般以k×10n (k=1，2，5；n為正、負整數)的形式表示。人們經常將同一k值的修約間隔，簡稱為「k」間隔。
修約間隔一經確定，修約數只能是修約間隔的整數倍。例如：指定修約間隔為0．1，修約數應在0．1的整數倍的數中選取；若修約間隔為2 x 10」，修約數的末位只能是0，2，4，6，8等數字；若修約間隔為5 x 10」，則修約數的末位數字必然不是「0」，就是「5」。
當對某一擬修約數進行修約時，需確定修約數字，其表達形式有以下幾種：
①指明具體的修約間隔；
②將擬修約數修約至某數字的0．1或0．2或0．5個單位；
③指明按「k」間隔將擬修約數修約為幾位有效數字，或者修約至某數字，有時「1」間隔可不必指明，但「2」間隔或「5」間隔必須指明。
(2)資料修約規則
我國的國家標準gb8170—87《數值修約規則》，對「1」、「2」、「5」間隔的修約方法分別作了規定，但使用時比較繁瑣，對「2」和「5」間隔的修約還需進行計算。下面介紹一種適用於所有修約間隔的修約方法，只需直觀判斷，簡便易行：
①如果為修約間隔整數倍的一系列數中，只有乙個數最接近擬修約數，則該數就是修約數。
例如：將1．150001按0．1修約間隔進行修約。此時，與擬修約數1．150001鄰近的為修約間隔整數倍的數有1．1和1．2(分別為修約間隔0．1的11倍和12倍)，然而只有1．2最接近擬修約數，因此1．2就是修約數。
又如：要求將1．015修約至十分位的0．2個單位。此時，修約間隔為0．02，與擬修約數1．0151鄰近的為修約間隔整數倍的數有1．00和1．02(分別為修約間隔的0．02的50倍和51倍)，然而只有1．02最接近擬修約數，因此1．02就是修約數。
同理，若要求將1．2505按「5」間隔修約至十分位。此時，修約間隔為0．5。1．2505只
能修約成1．5而不能修約成1．0，因為只有1．5最接近擬修約數1．2505。
②如果為修約間隔整數倍的一系列數中，有連續的兩個數同等地接近擬修約數，則這兩個數中，只有為修約間隔偶數倍的那個數才是修約數。
例如：要求將1150按100修約間隔修約。此時，有兩個連續的為修約間隔整數倍的數1．1×10。
和1．2×10。同等地接近1150，因為1．1×10。是修約間隔100的奇數倍(11倍)，只有1．2×103是修約間隔100的偶數倍(12倍)，因而1．2×10。
是修約數。
又如：要求將1．500按0．2修約間隔修約。此時，有兩個連續的為修約間隔整數倍的數1．4和1．6同等地接近擬修約數1．500，因為1．4是修約間隔0．2的奇數倍(7倍)，所以不是修約數，而只有1．6是修約間隔0．2的偶數倍(8倍)，因而才是修約數。
同理，1．025按「5」間隔修約到3位有效數字時，不能修約成1．05，而應修約成1．00。因為1．05是修約間隔0．05的奇數倍(21倍)，而1．00是修約間隔0．05的偶數倍(20倍)。
需要指出的是：資料修約導致的不確定度呈均勻分布，約為修約間隔的1／2。在進行修約時還應注意：
不要多次連續修約(例如：12．251—12．25—12．2)，因為多次連續修約會產生累積不確定度。此外，在有些特別規定的情況(如考慮安全需要等)下，最好只按乙個方向修約。
(二) 測量誤差
1．測量誤差和相對誤差
(1)測量誤差
測量結果減去被測量的真值所得的差，稱為測量誤差，簡稱誤差。
這個定義從20世紀70年代以來沒有發生過變化，以公式可表示為：測量誤差=測量結果一真值。測量結果是由測量所得到的賦予被測量的值，是客觀存在的量的實驗表現，僅是對測量所得被測量之值的近似或估計，顯然它是人們認識的結果，不僅與量的本身有關，而且與測量程式、測量儀器、測量環境以及測量人員等有關。
真值是量的定義的完整體現，是與給定的特定量的定義完全一致的值，它是通過完善的或完美無缺的測量，才能獲得的值。所以，真值反映了人們力求接近的理想目標或客觀真理，本質上是不能確定的，量子效應排除了唯一真值的存在，實際上用的是約定真值，須以測量不確定度來表徵其所處的範圍。因而，作為測量結果與真值之差的測量誤差，也是無法準確得到或確切獲知的。
此即「誤差公理」的內涵。
這裡應予指出的是：過去人們有時會誤用誤差一詞，即通過誤差分析給出的往往是被測量值不能確定的範圍，而不是真正的誤差值。誤差與測量結果有關，即不同的測量結果有不同的誤差，合理賦予的被測量之值各有其誤差而並不存在乙個共同的誤差。
乙個測量結果的誤差，若不是正值(正誤差)就是負值(負誤差)，它取決於這個結果是大於還是小於真值。
如圖6—1所示，被測量值為y，其真值為t，第i次測量所得的觀測值或測得值為yi。由於誤差的存在使測得值與真值不能重合，設測得值呈正態分佈n(ū，仃)，則分布曲線在數軸上的位置(即肛值)決定了系統誤差的大小，曲線的形狀(按盯值)決定了隨機誤差的分布範圍[∥一k口，p+ka]，及其在範圍內取值的概率。由圖可見，誤差和它的概率分布密切相關，可以用概率論和數理統計的方法來恰當處理。
實際上，誤差可表示為：
誤差=測量結果一真值=(測量結果一總體均值)十(總體均值一真值)
=隨機誤差+系統誤差
因此，任意乙個誤差△i均可分解為系統誤差ei和隨機誤差良的代數和，即可用下式表示為ai=ei+3i實際上，測量結果的誤差往往是由若干個分量組成的，這些分量按其特性均可分為隨機誤差與系統誤差兩大類，而且無例外地取各分量的代數和，換言之，測量誤差的合成只用「代數和」方式。
不要把誤差與不確定度混為一談。測量不確定度表明賦予被測量之值的分散性，它與人們對被測量的認識程度有關，是通過分析和評定得到的乙個區間。測量誤差則是表明測量結果偏離真值的差值，它客觀存在但人們無法準確得到。
例如：測量結果可能非常接近於真值(即誤差很小)，但由於認識不足，人們賦予的值卻落在乙個較大區間內(即測量不確定度較大)；
圖6—1測量誤差不意圖也可能實際上測量誤差較大，但由於分析估計不足，使給出的不確定度偏小。．國際上開始研製銫原子頻率標準時，經分析其測量不確定度達到10110量級，執行一段時間後，發現有一項重要因素不可忽視，經再次分析和評定，不確定度擴大到10-1。量級，這說明人們的認識提高了。
因此，在評定測量不確定度時應充分考慮各種影響因素，並對不確定度的評定進行必要的驗證。
當有必要與相對誤差相區別時，測量誤差有時稱為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的絕對值相混淆，後者為誤差的模。
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