高一數學教學設計與反思

函式圖象及其應用

前郭縣長山鎮中學周長巖

一、教學內容及內容解析：

本節課安排在人教版必修1第二章結束之後，第三章教學之前，對所學常見函式模型及其影象進行歸納總結，使學生對函式影象有個系統的認識，在此基礎上，一方面加強學生的看圖識圖能力，**函式模型的廣泛應用，另一方面，著重**函式影象與方程的聯絡，滲透函式與方程的思想及數形結合思想，為第三章作了很好的鋪墊，承上啟下，銜接自然，水到渠成。為使學生對函式與方程的關係有乙個逐步認識的過程，應遵循由淺入深、循序漸進的原則．從學生認為較簡單的問題入手，由具體到一般，建立方程的根與函式影象的聯絡。另外，函式與方程相比較,乙個「動」，乙個「靜」；乙個「整體」，乙個「區域性」，用函式的觀點研究方程，本質上就是將區域性的問題放在整體中研究，將靜態的結果放在動態的過程中研究，這為今後進一步學習函式與不等式等其它知識的聯絡奠定了堅實的基礎。

二、學情分析

學生在學完了第一章《集合與函式概念》、第二章《基本初等函式》後，對函式的性質和基本初等函式及其影象有了一定的了解和把握，但學生素質參差不齊，又存在能力差異，導致不同學生對知識的領悟與掌握能力的差距很大。因此進行本堂課的教學，應首先有意識地讓學生歸納總結舊知識，提高綜合能力，對新知識的傳授，即如何利用函式影象解決方程的根的問題，則應給足學生思考的空間和時間，充分化解學生的認知衝突，化難為易，化繁為簡，突破難點。

高中數學與初中數學相比，數學語言在抽象程度上突變，思維方法向理性層次躍遷，知識內容的整體數量劇增，以上這三點在函式這一章中得到了充分的體現，本章的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。因此，在教學中應多考慮初高中的銜接，更好地幫助學生藉由形象的手段理解抽象的概念，在函式這一章，函式的影象就顯得尤其重要而且直觀。

三、設計思路

1．儘管我們的教材為學生提供了精心選擇的課程資源，但教材僅是教師在教學設計時所思考的依據，在具體實施中，我們需要根據自己學生數學學習的特點，聯絡學生的學習實際，對教材內容進行靈活處理，比如調整教學進度、整合教學內容等，本節課是必修1第二章與第三章的過渡課，既鞏固了第二章所學知識，又為第三章學習埋下伏筆，對教材做了一次成功的加工整合，正所謂磨刀不誤砍材功。

2．樹立以學生為主體的意識，實現有效教學。現代教學論認為，學生的數學學習過程是乙個學生已有的知識和經驗為基礎的主動建構的過程，只有學生主動參與到學習活動中，才是有效的教學。在本節課的設計中，首先設計一些能夠啟發學生思維的活動，學生通過觀察、試驗、思考、表述，體現學生的自主性和活動性；其次，設計一些問題情境，而解決問題所需要的資訊均來自學生的真實水平，要麼定位在學生已有的知識基礎，要麼定位在一些學生很容易掌握的知識上，保證課堂上大部分學生都能夠輕鬆地解決問題。

隨著學生的知識和資訊不斷豐富，可以向學生介紹更多型別的問題情境或更難的應用問題情境，滲透數學思想，使學生學會問題解決的一般規律。

3．凡事預則立，不預則廢。預設是數學課堂教學的基本要求，但課堂教學不能過分拘泥於預設的固定不變的程式，應當開放地納入彈性靈活的成分以及始料不及的體驗。一堂好數學課應該是一節不完全預設的課，在課堂中有教師和學生真實的情感、智慧型的交流，這個過程既有資源的生成，又有過程狀態的生成，內容豐富，多方互動，給人以啟發。

四、教學目標分析

1．通過複習所學函式模型及其影象特徵，使學生對函式有乙個較直觀的把握和較形象的理解，緩解因函式語言的抽象性引起的學生的心理不適應及不自覺的排斥情緒。

2．通過練習的設定，從解決簡單實際問題的過程中，讓學生體會函式模型的廣泛適用性，貫穿理論聯絡實際、學以致用的觀點，充分體現數學的應用價值，加強學生的看圖識圖能力，激發學習興趣，引導學生自覺自主參與課堂教學活動。

3．通過對所給問題（例題1、2）的自主**和合作交流，使學生理解動與靜，整體與區域性的辨證統一關係，發展學生對變數數學的認識，體會函式知識的核心作用。

4．結合具體的問題，並從特殊推廣到一般，使學生領會函式與方程之間的內在聯絡，體驗函式與方程思想、數形結合思想及等價轉化思想的意義和價值。

五、重難點分析

教學重點：常見函式模型的影象特徵和實際應用。通過課堂師生互動交流，共同完成對相關知識的系統歸納，借助多**課件演示，增加學生的直觀體驗，深化認識，突破重點。

教學難點：利用函式影象研究方程問題的思想和方法。在教學過程中，通過學生自主**學習，在實際問題的解決中學習將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，實現難點突破。

六．教學過程設計：

（一）目標設疑，學生解疑，溫故知新（約8分鐘）

提出問題：

提問1：我們學過哪些基本初等函式？對它們的大致影象還有印象嗎？

試回憶所學並完成**：

練習1．當時，在同一座標系中，函式與的影象是（ d ）

提問2：若將「」改為「且」，又該如何選擇？

學情預設：

回顧常數函式、一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式、冪函式（的影象。（板書結合多**演示、實物投影）

設計意圖：所有的知識只有通過學生自身的「再創造」活動，才能納入其認知結構中，才可能成為下乙個有效的知識。教師必需尊重學生的主體性，讓學生自主參與**，切實掌握本節課的重點。

輔以多**直觀演示能使教學更富趣味性和生動性。

（二）演練鞏固，深化理解，學以致用（約35分鐘）

練習2．某地區電信資費調整後，市話費標準為：通話時間不超過3分鐘收費0.2元，超過3分鐘後，每增加1分鐘多收費0.

1元（不足1分鐘按1分鐘收費）。通話收費s（元）與通話時間t（分）的函式影象可表示為（ b ）

提問3：你能否寫出通話收費s（元）關於通話時間t（分）的函式表示式？這樣的函式稱為什麼函式？

例1．若定義運算，則函式的值域為（ a ）

師：從函式影象上可以分析函式的性質（如定義域、值域、單調性、奇偶性等），除此之外，函式影象還有什麼妙用嗎？請看例2。

例2．當時，方程有兩解？有三解？有四解呢？無解呢？

適當引導，點撥，引發認知衝突，學生**解決。

變式一：若方程有解，k取何範圍？

提問：一定要畫出具體的函式影象嗎？不畫圖有沒有辦法直接給出k的取值範圍呢？

師：數和形是數學的兩種表達形式，在本例中，我們藉由函式影象（形）解決方程的根的個數判斷（數），以形輔數，這種思想方法稱為數形結合。

變式二：依照這樣的解題方法，你能否判斷方程的根的個數？

學情預設：

以問題為驅動，講練結合，引入對具體例項的詳細剖析，循序漸進，由淺入深，**函式模型的廣泛應用和函式與方程的等價轉化，滲透數形結合思想。（板書結合多**演示）

練習2：借助具體例項，了解簡單的分段函式，這是很重要的一類函式模型，在實際問題中有較廣泛的應用。本題要求寫出函式解析式，大約5分鐘可完成。

例1：藉由函式影象解決函式性質（值域）是函式影象的重要應用，以概念定義方式呈現，以分段函式的形式考察，足見題目設計的新穎，對學生較有吸引力和挑戰性，給足學生思維、**、討論的時間，大約10分鐘方可完成。

例2：恰當的問題情境，能引發學生的認知衝突，使學生產生明顯的意識傾向和情感共鳴，激發他們的求知慾和探索精神，引導學生主動思考。這個問題涉及本課題的核心內容，給學生充足的**時間，大約20分鐘可完成。

具體可能的認知衝突有二：

認知衝突一：方程的根的個數判斷，真的要解方程嗎？有其他辦法嗎？

認知衝突二：如何作函式與的影象？

結合多**輔助演示，作函式與的影象，利用函式影象交點個數判斷方程根的個數。

設計意圖：

（1）新教材為引導學生自主發現、探索留有比較充分的空間，在教學中我們應充分利用這些空白空間，目標問題化，問題設疑化，過程**化，再給予學生發揮的空間，促進他們主動地學習和發展，讓空白的地方豐富多彩也是學習方式豐富的表現。

（2）對於學生來說，學習數學的乙個重要目的是要學會數學地思考，數學能力的提高離不開解題，解題教學重點是向學生暴露思維過程和展示學生的思維過程。例題的設計以階梯式呈現，給學生較為充分的時間，自主**和解決問題，教師在評講時，有意識地滲透數形結合的思想方法，從而達到傳授知識、培養能力的目的，實現難點的化解與突破。

（3）學習函式和方程的相互等價轉化，注意相關內容的前後聯絡，使學生加深對所學知識的系統認識，促進思維的深刻性。在潛移默化中培養了學生的科學態度和理性精神。

（三）理論昇華，思維拓展，總結評價（約2分鐘）

提問：這節課我們學習了那些內容？哪些方法？哪些數學思想？

課堂小結：

本節課複習了常見函式模型及其影象特徵，體會到利用函式影象解決函式性質的形象和直觀，學習函式和方程的相互等價轉化，體會函式方程思想與數形結合思想的意義和價值。

正如華羅庚所說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。

課後作業：

1．總結本節課的學習心得體會

波利亞（g·polya）先生曾指出「乙個重大的發現可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點滴的發現」。可見，習題在數學學習中具有非常重要的作用。

學莫貴於自得，請你寫下本節課的學習心得體會。

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