一、二次函式概念：
1．二次函式的概念：一般地，形如（是常數，）的函式，叫做二次函式。（ 這裡需要強調：和一元二次方程類似，二次項係數，而可以為零．）
2. 二次函式的結構特徵：
⑴ 等號左邊是函式，右邊是關於自變數的二次式，的最高次數是2．
⑵是常數，是二次項係數，是一次項係數，是常數項．
二、二次函式的基本形式
三、二次函式與的比較
從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，後者通過配方可以得到前者，即，其中．
四、二次函式的圖象與各項係數之間的關係
1、決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小．
2、在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置．
⑴ 在的前提下，
當時，，即拋物線的對稱軸在軸左側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，，即拋物線對稱軸在軸的右側．
⑵ 在的前提下，結論剛好與上述相反，即
當時，，即拋物線的對稱軸在軸右側；
當時，，即拋物線的對稱軸就是軸；
當時，，即拋物線對稱軸在軸的左側．
的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是「左同右異」
3、決定了拋物線與軸交點的位置．
⑴ 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱座標為正；
⑵ 當時，拋物線與軸的交點為座標原點，即拋物線與軸交點的縱座標為；
⑶ 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱座標為負．
五、二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）
⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
六、二次函式解析式的表示方法
1. 一般式：（，，為常數，）；
2. 頂點式：（，，為常數，）；
3. 兩根式：（，，是拋物線與軸兩交點的橫座標）.
七、二次函式解析式的確定：
根據已知條件確定二次函式解析式，通常利用待定係數法．用待定係數法求二次函式的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：
1. 已知拋物線上三點的座標，一般選用一般式；
2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；
3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫座標，一般選用兩根式；
4. 已知拋物線上縱座標相同的兩點，常選用頂點式．
八、二次函式圖象的對稱
二次函式圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
2. 關於軸對稱
關於軸對稱後，得到的解析式是；
關於軸對稱後，得到的解析式是；
3. 關於原點對稱
關於原點對稱後，得到的解析式是；
關於原點對稱後，得到的解析式是；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
關於頂點對稱後，得到的解析式是；
關於頂點對稱後，得到的解析式是．
5. 關於點對稱
關於點對稱後，得到的解析式是
九、二次函式與一元二次方程：
1. 二次函式與一元二次方程的關係（二次函式與軸交點情況）：
一元二次方程是二次函式當函式值時的特殊情況.
圖象與軸的交點個數：
① 當時，圖象與軸交於兩點，其中的是一元二次方程的兩根．這兩點間的距離.
② 當時，圖象與軸只有乙個交點；
③ 當時，圖象與軸沒有交點.
當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數，都有；
當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數，都有．
2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點座標為，；
3. 二次函式常用解題方法總結：
⑴ 求二次函式的圖象與軸的交點座標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函式的最大（小）值需要利用配方法將二次函式由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函式中，，的符號，或由二次函式中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函式的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點座標，或已知與軸的乙個交點座標，可由對稱性求出另乙個交點座標.
影象參考：
十一、函式的應用
二次函式應用
二次函式考查重點與常見題型
1． 考查二次函式的定義、性質，有關試題常出現在選擇題中，如：
已知以為自變數的二次函式的影象經過原點， 則的值是
2． 綜合考查正比例、反比例、一次函式、二次函式的影象，習題的特點是在同一直角座標系內考查兩個函式的影象，試題型別為選擇題，如：
如圖，如果函式的影象在第
一、二、三象限內，那麼函式的影象大致是（ ）
yyyy
110 xo-1 x 0 x0 -1 x
abcd
3． 考查用待定係數法求二次函式的解析式，有關習題出現的頻率很高，習題型別有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：
已知一條拋物線經過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。
4． 考查用配方法求拋物線的頂點座標、對稱軸、二次函式的極值，有關試題為解答題，如：
已知拋物線（a≠0）與x軸的兩個交點的橫座標是－1、3，與y軸交點的縱座標是－
（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點座標.
5．考查代數與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。
【例題經典】
由拋物線的位置確定係數的符號
例1 （1）二次函式的影象如圖1，則點在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
（2）已知二次函式y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函式值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數是（ ）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
12)【點評】弄清拋物線的位置與係數a，b，c之間的關係，是解決問題的關鍵．
例2.已知二次函式y=ax2+bx+c的圖象與x軸交於點(-2，o)、(x1，0)，且1o；③4a+co，其中正確結論的個數為( )
a 1個 b. 2個 c. 3個 d．4個
答案：d
會用待定係數法求二次函式解析式
例3.已知：關於x的一元二次方程ax2+bx+c=3的乙個根為x=-2，且二次函式y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點座標為( )
a(2，-3) b.(2，1) c(2，3) d．(3，2)
答案：c
例4、（2023年煙台市）如圖（單位：m），等腰三角形abc以2公尺/秒的速度沿直線l向正方形移動，直到ab與cd重合．設x秒時，三角形與正方形重疊部分的面積為ym2．
（1）寫出y與x的關係式；
（2）當x=2，3.5時，y分別是多少？
（3）當重疊部分的面積是正方形面積的一半時，
三角形移動了多長時間？求拋物線頂點座標、
對稱軸.
例5、已知拋物線y=x2+x-．
（1）用配方法求它的頂點座標和對稱軸．
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為a、b，求線段ab的長．
【點評】本題（1）是對二次函式的「基本方法」的考查，第（2）問主要考查二次函式與一元二次方程的關係．
例6.已知：二次函式y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經過點p(4，10)，交x軸於，兩點，交y軸負半軸於c點，且滿足3ao=ob．
(1)求二次函式的解析式；(2)在二次函式的圖象上是否存在點m，使銳角∠mco>∠aco?若存在，請你求出m點的橫座標的取值範圍；若不存在，請你說明理由．
(1)解：如圖∵拋物線交x軸於點a(x1，0)，b(x2，o)，
則x1·x2=3<0，又∵x1 ∴x2>o，x1 ∴x1·x2=-3x12=-3．∴x12=1.
x1<0，∴x1=-1．∴．x2=3．
∴點a(-1，o)，p(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3
∴．二次函式的解析式為y-2x2-4x-6．
(2)存在點m使∠mc0<∠aco．
(2)解：點a關於y軸的對稱點a』(1，o)，
∴直線a，c解析式為y=6x-6直線a'c與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)．
∴符合題意的x的範圍為-1當點m的橫座標滿足-1∠aco．
例7、 「已知函式的圖象經過點a（c，－2），
求證：這個二次函式圖象的對稱軸是x=3。」題目中的矩形框部分是一段被墨水汙染了無法辨認的文字。
（1）根據已知和結論中現有的資訊，你能否求出題中的二次函式解析式？若能，請寫出求解過程，並畫出二次函式圖象；若不能，請說明理由。
二次函式知識點彙總及詳細剖析
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