3.7已知關係模式r(abc)，f=,求f+。
可以直接通過自反律、增廣律、傳遞律加以推廣：
f+=4.6 試分析下列分解是否具有無損聯接和保持函式依賴的特點： (1)設r(abc)，f1= 在r上成立，ρ1=。
首先，檢查是否具有無損聯接特點：
第1種解法--演算法4.2:
結果第二行全是a行，因此分解是無損聯接分解。
第2種解法:(定理4.8)
設 r1=ab，r2=ac
r1∩r2=a
r2- r1=b
∵a→b,∴該分解是無損聯接分解。
然後，檢查分解是否保持函式依賴
πr1（f1）=
πr2（f1）=
f1被πr1（f1）所蘊涵，∴所以該分解保持函式依賴。
(2)設r(abc)，f2=在r上成立，ρ2=
首先，檢查是否具有無損聯接特點：
第1種解法（略）
第2種解法:(定理4.8)
設 r1=ab，r2=ac
r1∩r2=a
r2- r1=c
∵a→c,∴該分解是無損聯接分解。
然後，檢查分解是否保持函式依賴
πr1（f2）=
πr2（f2）=
∵f1中的b→c沒有被蘊涵，所以該分解沒有保持函式依賴。
(3)設r(abc)，f3=,在r上成立,ρ3=.
首先，檢查是否具有無損聯接特點：
第1種解法：
沒有一行全是a行。因此這個分解不具有無損聯接特性。
第2種解法:(定理4.8)
設 r1=ab，r2=bc
r1∩r2=b
r2- r1=c，r1- r2=a
∵b→c,b→a不在f3中 ∴該分解不具有無損聯接特性。
然後，檢查分解是否保持函式依賴
πr1（f3）=
πr2（f3）=
f1被πr1（f3）所蘊涵，所以該分解保持函式依賴。
(4)設r(abc)，f4=在r上成立，ρ4=
首先，檢查是否具有無損聯接特點：
第1種解法（略）
第2種解法:(定理4.8)
設 r1=ac，r2=bc
r1(ac)∩r2(bc)=c
r2- r1=b，r1- r2=a
∵c→b,c→a不在f4中 ∴該分解不具有無損聯接特性。
然後，檢查分解是否保持函式依賴
πr1（f2）=
πr2（f2）=
∵f1中的a→b沒有被蘊涵，所以該分解沒有保持函式依賴。
4.7 設r=abcd,r上的函式依賴集f=,r的乙個分解ρ=,求:(1)f在ρ的每個模式上的投影。(2)ρ相對於f是無損聯接分解嗎?(3)ρ保持依賴嗎?
(1)πab(f)=
πac(f)=
πad(f)=
(2)每一行都是a，ρ相對於f是無損聯接分解。
(3)πab(f)∪πac(f)∪πad(f)=,
沒有滿足b→c，d→c函式依賴，
因此ρ相對於f的這個分解不保持函式依賴。
4.8 設r=abcd,r上的f=, 試證明ρ=相對於f不是無損聯接分解。
根據演算法4.2
沒有一行都是a，所以，ρ相對於f不是無損聯接分解。
4.9 設r=abcd,r上的f=，把r分解成bcnf模式集。
(1)若首先把r分解成，試求f在這兩個模式上的投影。
(2)acd和bd是bcnf嗎?如果不是，請進一步分解。
(1)πacd(f)=
πbd(f)=
(2)因為根據bcnf的定義，要求關係模式是第一正規化，且每個屬性都不傳遞依賴於r的侯選鍵。 bcd中（a，d）為候選鍵，可是（a,d)→a, a→c,所以它不是bcnf模式。
它可進一步分解為：,此時ac，dc均為bcnf模式。
bd是bcnf，因為r2(bd)是第一正規化，且每個屬性都不傳遞依賴於d(候選鍵)，所以它是bcnf模式。
4.10 設r=abcd,ρ=。f1=；f2=；
(1)如果f1是r上的函式依賴集，此時ρ是無損聯接分解嗎?若不是，試舉出反例。
(2)如果f2是r上的函式依賴集呢?
(1)不是無損聯接。可由演算法4.2判斷或由定理4.8判斷。
根據演算法4.2
結果沒有出現一行全a的情況，所以它不是無損聯接。舉例如下：
設模式r的一關係r為
則有：r1=πab(r)=
r2=πbc(r)=
r3=πcd(r)=
令a=r1r2r3=
r≠a，所以ρ不是無損聯接。
(2)如果f2是r上的函式依賴，則可以判斷，ρ是無損聯接。判斷過程同上。
4.11(1)f= 侯選鍵是（s#,c#）。
(2)在模式r中，tname不完全依賴於鍵(s#，c#),因此需進行分解，可分解為下列兩個關係。
sc= c=
分解後，sc中，grade完全依賴於侯選鍵(s#,c#),在c中，主屬性是c#，tname、taddr均完全依賴於c#。 因此，該分解符合2nf模式。
(3)3nf：若每個關係模式是2nf，則每個非主屬性都不傳遞於r的候選鍵。
按上述已分好的兩個模式，sc中已滿足「每個非主屬性都不傳遞於r的候選鍵」，已是3nf,而在c中， c#→tname，tname→taddr，taddr傳遞依賴於c#，因此還需分成兩個模式：ct(c#,tname), t(tname,tadd)。
分解後，總共有sc=,ct(c#,tname), t(tname,tadd)三個模式。
該分解符合3nf模式。
4.12 d=
d#:部門號, manager_e#:部門領導人員的職工號, e#:
職工號, j#:生產科研專案號phone#:辦公室的**號business:
職工職務sa_history:工資歷史office#:辦公室號area:
辦公室面積,
根據所給資訊，給出下列資料依賴： f=
（假設乙個部門可能有多個辦公室，有多個專案，乙個辦公室只屬於乙個部門，有多部**， 乙個員工只參加乙個專案，乙個專案可能屬於多個部門）
只要保證每個屬性值不可分割，以上正規化即為1nf。候選鍵為（e#,business，phone#)
轉換成2nf關係(消除區域性依賴）：
em_dep(e#,d#,manager_e#,office#,area,j#，budget)
對應 f=
history(e#,business,history)
對應 f=
phone(phone#,office#)
對應 f=
轉換成3nf關係(消除非主屬性對侯選鍵的傳遞依賴）：
department(d#,manager_e#)
office(office#,area，d#)
emproee(e#,j#,office#)
history(e#,business,history)
phone(phone#,office#)
project(j#,budget)
4.11 試把域表示式轉換成等價的：
(1)漢語查詢句子；(2)關係代數表示式；(3)元組表示式。
(1)漢語查詢句子：選擇r中元組第1分量值與第2分量值互換後仍存在於r中的元組。
(2)關係代數表示式：π1，2(σ1=4∧2=3(r×r))；
(3)元組表示式：=
4.12 設有兩個關係r(a，b，c)和s(d，e，f)，試把下列關係代數表示式轉換成等價的元組表示式：
(1)πa(r)；(2)σb='17'(r)；(3)r×s；(4)πa,f(σc=d(r×s))
(1)(2)(3)(4)
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