流體力學
11.1 流體的基本性質
1)壓縮性
流體是液體與氣體的總稱。從巨集觀上看，流體也可看成一種連續媒質。與彈性體相似，流體也可發生形狀的改變，所不同的是靜止流體內部不存在剪下應力，這是因為如果流體內部有剪應力的話流體必定會流動，而對靜止的流體來說流動是不存在的。
如前所述，作用在靜止流體表面的壓應力的變化會引起流體的體積應變，其大小可由胡克定律
描述。大量的實驗表明，無論氣體還是液體都是可以壓縮的，但液體的可壓縮量通常很小。例如在500個大氣壓下，每增加乙個大氣壓，水的體積減少量不到原體積的兩萬分之一。
同樣的條件下，水銀的體積減少量不到原體積的百萬分之四。因為液體的壓縮量很小，通常可以不計液體的壓縮性。氣體的可壓縮性表現的十分明顯，例如用不大的力推動活塞就可使氣缸內的氣體明顯壓縮。
但在可流動的情況下，有時也把氣體視為不可壓縮的，這是因為氣體密度小在受壓時體積還未來得及改變就已快速地流動並迅速達到密度均勻。物理上常用馬赫數m來判定可流動氣體的壓縮性，其定義為m=流速/聲速，若m2<<1，可視氣體為不可壓縮的。由此看出，當氣流速度比聲速小許多時可將空氣視為不可壓縮的，而當氣流速度接近或超過聲速時氣體應視為可壓縮的。
總之在實際問題中若不考慮流體的可壓縮性時，可將流體抽象成不可壓縮流體這一理想模型。
2)粘滯性
為了解流動時流體內部的力學性質，設想如圖10.1.1所示的實驗。
在兩個靠得很近的大平板之間放入流體，下板固定，在上板麵施加乙個沿流體表面切向的力f。此時上板麵下的流體將受到乙個平均剪應力f/a的作用，式中a是上板的面積。
實驗表明，無論力f多麼小都能引起兩板間的流體以某個速度流動，這正是流體的特徵，當受到剪應力時會發生連續形變並開始流動。通過觀察可以發現，在流體與板麵直接接觸處的流體與板有相同的速度。若圖10.
1.1中的上板以速度u沿x方向運動下板靜止，那麼中間各層流體的速度是從0（下板）到u（上板）的一種分布，流體內各層之間形成流速差或速度梯度。實驗結果表明，作用在流體上的切向力f正比與板的面積和流體上表面的速度u反比與板間流體的厚度l，所以f可寫成
因而流體上表面的剪應力可以寫成
式中是線段ab繞a點的角速度或者說是單位時間內流體的角形變。若用微分形式表示更具有普遍性，這時上式可以改寫成
或 上式就是剪應力所引起的一維流體角形變關係式，比例係數μ稱為流體的粘滯係數，上式叫做牛頓粘滯性定律。μ為常數的流體稱為牛頓流體，它反映了切應力與角形變是線性關係，μ不是常數的流體稱為非牛頓流體。
流體的粘滯係數μ是反映流體粘滯性的大小的物理量，在國際單位制中，粘滯係數的單位是牛頓秒/公尺2。所謂粘滯性是指當流體流動時，由於流體內各流動層之間的流速不同，引起各流動層之間有障礙相對運動的內「摩擦」，而這個內摩擦力就是上式中的切向力，物理學中把它稱為粘滯阻力。因此上式實際上是流體內部各流動層之間的粘滯阻力。
實驗表明，任何流體流動時其內部或多或少的存在粘滯阻力。例如河流中心的
水流動的較快，而靠近岸邊的水卻幾乎不動就是水的粘滯性造成的。在實際處
理流體的流動問題時，若流動性是主要的粘滯性作用影響不大，則可認為流體
是完全沒有粘滯性的，這種理想的模型叫做非粘滯性流體。
3）壓力與壓強
從前面的討論知道靜止流體表面上沒有剪應力，所以容器壁作用在靜止流體
表面上的力是與液體表面正交的，按牛頓第三定律流體作用在容器壁上的力也與
容器壁表面正交，這一點對靜止液體內部也成立。在靜止液體內過某一點作一假
想平面，平面一方流體作用該平面的力也總是垂直於該假想平面。流體表面與流
體內各點的壓力一般是不一樣的，在流體表面壓力的方向只能是垂直於液體表面
，而流體內部某點的壓力沿各個方向都有，因為過流體內部一點我們可以取任意
方向的平面。在流體力學中為了描述流體內部的作用力，引入乙個叫做壓強的物
理量，規定壓強是作用於流體內單位面積上垂直力的數值，它是一標量。為了計
算流體內某一點的壓強，我們應該設想通過該點的假想平面s是無限小的，若該
面上的正壓力為f，則定義該點的壓強
在國際單位制中壓強的單位是牛頓/公尺2，也稱為帕用pa表示。在實際應用中壓強也有用等價的流體柱高表示的，如醫用測量血壓的儀器就是用水銀柱高作為壓強的單位。流體力學中壓強是標量但力是向量，面元的法向也是向量。
既然流體內部的力總是垂直於假想平面，因此可定義流體內某點力的方向與它所作用平面的內法線方向一致，這樣作用流體內任一面元上的力f可寫成 df= -pds 。由於流體內部每一點都有壓強所以說流體內每一點都存在壓力，至於壓力的方向由所考慮平面的法線決定，可以是任何的方向，當流體流動時壓強與壓力的關係不變。
4）流體的密度和比重
在流體力學中常用密度來描述流體的動力學規律，其定義和固體定義一樣為單位體積流體的質量，即流體內某點的密度為
對均勻不可壓縮的流體密度是常數，一般情況下流體內部各點的密度是不相同的。單位體積流體的重量稱為流體的比重。設想在流體內部取一小體積v，v中包含流體的質量為m，因而v內流體的重量為mg，由定義該流體的比重
11.2 流體靜力學方程
1）靜止流體內任一點的壓強
靜止流體內過一點可以沿許多不同的方向取面元，現在來研究這些不同取向的面元上壓強有什麼關係。在靜止的流體內部取乙個很小的四面體abc包圍該點，如圖10.2.
1所示。設面元abc法線的方向余弦為α、β、γ，周圍流體對該點作用力（壓力）可以用壓強p1、p2、p3和p表示，當流體靜止時所受到的合外力為零，即
因為由上式得到
p = p1= p2 = p3 。
由於四面體是任意選取的，於是我們可以得出結論：靜止流體內部任一點上沿各個方向的壓強都相等，與過這點所取面元法線的方向無關。正因為如此，流體力學中壓強只與流體內的點對應而不必強調壓強是對哪乙個面的。
2）流體靜力學方程
處理流體靜力學問題時，常常取流體內部乙個小流體元作為研究物件。作用在小流體元上的力大致可分為兩類。一類是作用在小流體元外表面上的壓力，我們稱之為面力，如液體表面的正壓力pds。
另一類是作用在整個小流體元上與流體元的體積成正比的力，如重力ρgdv、慣性力等，我們稱為體力。下面從牛頓定律出發推導流體靜力學滿足的普遍方程。當流體處於靜止狀態時，流體內任一小流體元受到的面力與體力之和必定為零，即平衡條件為
與壓強類似，我們引入乙個體力密度，它表示作用在單位體積流體上的體力。例如在只有重力作用下，體力密度f的大小就是比重ρg，方向沿重力方向，而在慣性力的作用下，體力密度就是f = －ρa。為了建立流體靜力學方程，我們在靜止流體內部取如圖10.
2.2所示的立方體流體元，根據平衡條件有
整理後得
利用可將前式簡化成
顯然體積v≠0，所以只能是
在上面的式子中取極限，就可得靜止流體內任一點都
必須滿足的方程
借助梯度算符
上式可以改寫成更簡潔的形式
這就是流體靜力學的普遍方程，它表明若流體內任一點的總體力密度等於該點
處壓強的梯度則流體一定處於靜止狀態。
3）重力場中流體內部壓強分布
i)液體：我們先來討論靜止液體內部的壓強分布。設液體的密度為ρ放置在一長方形的容器內，液面的柱面高為z0，液體表面的壓強為p0如圖10.2.3所示。
在重力場中液體受到的體力密度為－ρgk，由流體靜力學普遍方程得
。由上述方程知液體內部壓強與座標x、y無關，只是深度的函式。積分第三式得
p = -ρgz + c，
當z=z0時p=p0.故c=p0+ρgz0，所以液體內部壓強隨深度變化的關係為
p = ρg(z0-z) + p0 = ρgh + p0 ,
式中h為液面下的深度。上式表明靜止液體內部的壓強只與距離液面下的深度
有關與液體內部水平位置無關。
ii)氣體：現在來討論重力場中空氣壓強隨高度變化的規律。為簡單起見，假
定空氣的溫度是不隨高度變化的而且空氣可以看成理想氣體。如果在地面處
空氣的壓強為p0、密度為ρ0，則理想氣體的狀態方程可表示成
以地面為座標系原點所在處，z軸垂直地面向上，由流體靜力學方程dp= -ρgdz,。
10知識點全流體力學複習
流體力學 一 填空題 1 流體力學中三個主要力學模型是 1 連續介質模型 2 不可壓縮流體力學模型 3 無粘性流體力學模型。2 在現實生活中可視為牛頓流體的有水和空氣等。3 流體靜壓力和流體靜壓強都是壓力的一種量度。它們的區別在於 前者是作用在某一面積上的總壓力 而後者是作用在某一面積上的平均壓強或...
流體力學重點總結
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