二次函式中考常考知識點總結
知識點一、二次函式的概念和影象
1、二次函式的概念
一般地，如果特，特別注意a不為零
那麼y叫做x 的二次函式。
叫做二次函式的一般式。
2、二次函式的影象
二次函式的影象是一條關於對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。
拋物線的主要特徵：
①有開口方向；②有對稱軸；③有頂點。
例題：1. （2011山東泰安，20 ，3分）若二次函式y=ax2+bx+c的x與y的部分對應值如下表：
則當x=1時，y的值為
a.5b.-3c.-13d.-27
【答案】d
2. （2011山東威海，7，3分）二次函式的圖象如圖所示．當y＜0時，自變數x的取值範圍是（ ）．
a．－1＜x＜3 b．x＜－1 c． x＞3 d．x＜－1或x＞3
【答案】a
3．（2011四川重慶，7，4分）已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角座標系中的位置如圖所示，則下列結論中正確的是( )
a． a>0 b． b＜0 c． c＜0 d． a＋b＋c>0
【答案】d
4. （2011江蘇無錫，9，3分）下列二次函式中，圖象以直線x = 2為對稱軸，且經過點(0，1)的是
a．y = (x 2)2 + 1b．y = (x + 2)2 + 1
c．y = (x 2)2 3d．y = (x + 2)2 3
【答案】c
知識點二、二次函式的解析式
二次函式的解析式有三種形式：口訣----- 一般兩根三頂點
（1）一般一般式：
（2）兩根當拋物線與x軸有交點時，即對應二次好方程有實根和存在時，根據二次三項式的分解因式，二次函式可轉化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小,a 的絕對值越大，拋物線的開口越小.
（3）三頂點頂點式：
例題：1. （2011山東濟寧，12，3分）將二次函式化為的形式，則
【答案】
2.(2023年廈門湖裡模擬)一次函式y＝x－3的圖象與x軸，y軸分別交於點a，b．乙個二次函式y＝x2＋bx＋c的圖象經過點a，b．
（1）求點a，b的座標； 2）求二次函式的解析式及它的最小值．
解：（1）令，得，點的座標是
令，得，點的座標是
（2）二次函式的圖象經過點，
，解得二次函式的解析式是，
，∴函式的最小值為．
3. （ 2011重慶江津， 25，10分）已知雙曲線與拋物線y=ax2+bx+c交於a(2,3)、b(m,2)、c(－3,n)三點.
(1)求雙曲線與拋物線的解析式;
解答：(1)把點a(2,3)代入得 ：k=6·
∴反比例函式的解析式為：·
把點b(m,2)、c(－3,n)分別代入得： m=3,n=-2·
把a(2,3)、b(3,2)、c(-3,-2)分別代入y=ax2+bx+c得：
解之得∴拋物線的解析式為：y=-·
4. （2011湖南湘潭市，25，10分）（本題滿分10分）
如圖，直線交軸於a點，交軸於b點，過a、b兩點的拋物線交軸於另一點c（3,0）.
⑴ 求拋物線的解析式;
【答案】解：（1）設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c。
∵直線交軸於a點，交軸於b點，
∴a點座標為（-1,0）、b點座標為（0,3）.
又∵拋物線經過a、b、c三點，
∴，解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3．
知識點三、二次函式的最值
如果自變數的取值範圍是全體實數，那麼函式在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。
如果自變數的取值範圍是，那麼，首先要看是否在自變數取值範圍內，若在此範圍內，則當x=時，；若不在此範圍內，則需要考慮函式在範圍內的增減性，如果在此範圍內，y隨x的增大而增大，則當時，，當時，；如果在此範圍內，y隨x的增大而減小，則當時，，當時，。
例題：1. （2011浙江溫州，9，4分）已知二次函式的圖象(0≤x≤3)如圖所示．關於該函式在所給自變數取值範圍內，下列說法正確的是( )
a．有最小值0，有最大值3b．有最小值－1，有最大值0
c．有最小值－1，有最大值3 d．有最小值－1，無最大值
【答案】d
2. （2011廣東肇慶，10，3分）二次函式有
a． 最大值 b． 最小值 c． 最大值 d． 最小值
【答案】d
☆、幾種特殊的二次函式的影象特徵如下：
知識點四：二次函式圖象的平移
1. 平移步驟：
方法一：⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點座標；
⑵ 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函式的基礎上「值正右移，負左移；值正上移，負下移」．
概括成八個字「左加右減，上加下減」．
方法二：
⑴沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成
（或）⑵沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）
例題：1. （2011山東濱州，7，3分）拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是( )
a.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位
b.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位
c.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位
d.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位
【答案】b
2. （2011四川樂山5，3分）將拋物線向左平移2個單位後，得到的拋物線的解析式是
a． b． c． d．
【答案】a
3．（ 2011重慶江津， 18，4分）將拋物線y=x2－2x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_______.
【答案】y=(x-5)2+2 或 y=x2-10x+27
知識點五、二次函式的性質
1、二次函式的性質
2、二次函式中，的含義：
表示開口方向： >0時，拋物線開口向上
<0時，拋物線開口向下
與對稱軸有關：對稱軸為x=
表示拋物線與y軸的交點座標：（0，）
例題：1. （2011廣東廣州市，5，3分）下列函式中,當x>0時y值隨x值增大而減小的是（ ）．
a．y = x2b．y = xc． y = x d．y =
【答案】d
2. （2011山東菏澤，8，3分）如圖為拋物線的影象，a、b、c 為拋物線與座標軸的交點，且oa=oc=1，則下列關係中正確的是
a．a＋b=－1 b． a－b=－1 c． b<2a d． ac<0
【答案】b
3. （2011山東煙台，10,4分）如圖，平面直角座標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關係正確的是（ ）
a．m＝n，k＞hb．m＝n ，k＜h
c．m＞n，k＝hd．m＜n，k＝h
【答案】a
4. （2011台灣全區，28）圖(十二)為座標平面上二次函式的圖形，且此圖形通（－1 , 1）、（2 ,－1）兩點．下列關於此二次函式的敘述，何者正確？
a ．y的最大值小於0b．當x＝0時，y的值大於1
c．當x＝1時，y的值大於1 d．當x＝3時，y的值小於0
【答案】ｄ
5. （2011甘肅蘭州，5，4分）拋物線的頂點座標是
a．（1，0） b．（－1，0） c．（－2，1） d．（2，－1）
【答案】a
6. （2011甘肅蘭州，9，4分）如圖所示的二次函式的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條資訊：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你認為其中錯誤的有
a．2個 b．3個 c．4個 d．1個
【答案】d
7．（2011四川廣安，10，3分）若二次函式．當≤l時，隨的增大而減小，則的取值範圍是
a．=l b．>l c．≥l d．≤l
【答案】c
8. （2011上海，4，4分）拋物線y＝－(x＋2)2－3的頂點座標是（ ）．
(a) （2，－3）； (b) （－2，3）； (c) （2，3）； (d) （－2，－3） ．
【答案】d
9. （2011湖北襄陽，12，3分）已知函式的圖象與x軸有交點，則k的取值範圍是
abc.且d.且
【答案】b
10. （2011湖南永州，13，3分）由二次函式，可知（ ）
a．其圖象的開口向下 b．其圖象的對稱軸為直線
c．其最小值為1d．當時，y隨x的增大而增大
【答案】c．
11. （2011浙江省舟山，15，4分）如圖，已知二次函式的圖象經過點（－1，0），（1，－2），當隨的增大而增大時，的取值範圍是 ．
【答案】
3、二次函式與一元二次方程的關係
一元二次方程的解是其對應的二次函式的影象與x軸的交點座標。
因此一元二次方程中的，在二次函式中表示影象與x軸是否有交點。
當》0時，影象與x軸有兩個交點；
當=0時，影象與x軸有乙個交點；
當<0時，影象與x軸沒有交點。
例題：12. （2011台灣台北，32）如圖(十四)，將二次函式的圖形畫在座標平面上，判斷方程
式的兩根，下列敘述何者正確？
a．兩根相異，且均為正根b．兩根相異，且只有乙個正根
c．兩根相同，且為正根d．兩根相同，且為負根
【答案】a
13. （2011江蘇宿遷,8,3分）已知二次函式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象如圖，則下列結論中正確的是（▲）
a．a＞0 b．當x＞1時，y隨x的增大而增大
c．c＜0 d．3是方程ax2＋bx＋c＝0的乙個根
【答案】d
14. （2011山東濰坊，12，3分）已知一元二次方程的兩個實數根、滿足和，那麼二次函式的圖象有可能是（ ）
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