五、極限法
方法簡介
極限法是把某個物理量推向極端，即極大和極小或極左和極右，並依此做出科學的推理分析，從而給出判斷或匯出一般結論。極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特作用，恰當應用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡，思路靈活，判斷準確。因此要求解題者，不僅具有嚴謹的邏輯推理能力，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。
賽題精講
例1：如圖5—1所示， 乙個質量為m的小球位於一質量可忽略的直立
彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設彈簧的勁度
係數為k，則物塊可能獲得的最大動能為 。
解析：球跟彈簧接觸後，先做變加速運動，後做變減速運動，據此推理，
小球所受合力為零的位置速度、動能最大。所以速最大時有
mg=kx圖5—1
由機械能守恆有 ②
聯立①②式解得
例2：如圖5—2所示，傾角為的斜面上方有一點o，在o點放一至
斜面的光滑直軌道，要求一質點從o點沿直軌道到達斜面p點
的時間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角。
解析：質點沿op做勻加速直線運動，運動的時間t應該與角有關，
求時間t對於角的函式的極值即可。
由牛頓運動定律可知，質點沿光滑軌道下滑的加速度為
該質點沿軌道由靜止滑到斜面所用的時間為t，則
所以由圖可知，在△opc中有
所以將②式代入①式得
顯然，當時，上式有最小值.
所以當時，質點沿直軌道滑到斜面所用的時間最短。
此題也可以用作圖法求解。
例3：從底角為的斜面頂端，以初速度水平丟擲一小球，不計
空氣阻力，若斜面足夠長，如圖5—3所示，則小球丟擲後，
離開斜面的最大距離h為多少？
解析：當物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠。
以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，
則由：，解得運動時間為
該點的座標為
由幾何關係得：
解得小球離開斜面的最大距離為。
這道題若以沿斜面方向和垂直於斜面方向建立座標軸，求解則更加簡便。
例4：如圖5—4所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m
的牆外， 從噴口算起， 牆高為4.0m。 若不計空氣阻力，取
，求所需的最小初速及對應的發射仰角。
解析：水流做斜上拋運動，以噴口o為原點建立如圖所示的
直角座標，本題的任務就是水流能通過點a（d、h）的最小初速度和發射仰角。
根據平拋運動的規律，水流的運動方程為
把a點座標（d、h）代入以上兩式，消去t，得：
令上式可變為
且最小初速=
例5：如圖5—5所示，一質量為m的人，從長為l、質量為
m的鐵板的一端勻加速跑向另一端，並在另一端驟然停止。
鐵板和水平面間摩擦因數為，人和鐵板間摩擦因數為
，且》。這樣，人能使鐵板朝其跑動方向移動
的最大距離l是多少？
解析：人驟然停止奔跑後，其原有動量轉化為與鐵板一起向前衝的動量，此後，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度。
由於鐵板移動的距離越大，l越大。是人與鐵板一起開始地運動的速度，因此人應以不會引起鐵板運動的最大加速度奔跑。
人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動時，人若達到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達到最大靜摩擦，根據系統的牛頓第二定律得：
所以哈設、分別是人奔跑結束及人和鐵板一起運動時的速度
因為且並將、代入②式解得鐵板移動的最大距離
例6：設地球的質量為m，人造衛星的質量為m，地球的半徑為r0，人造衛星環繞地球做圓周運動的半徑為r。試證明：從地面上將衛星發射至執行軌道，發射速度
，並用該式求出這個發射速度的最小值和最大值。（取r0=6.4×106m），設大氣層對衛星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為g）
解析：由能量守恆定律，衛星在地球的引力場中運動時總機械能為一常量。設衛星從地面發射的速度為，衛星發射時具有的機械能為
進入軌道後衛星的機械能為 ②
由e1=e2，並代入解得發射速度為 ③
又因為在地面上萬有引力等於重力，即：④
把④式代入③式即得：
（1）如果r=r0，即當衛星貼近地球表面做勻速圓周運動時，所需發射速度最小
為.（2）如果，所需發射速度最大（稱為第二宇宙速度或脫離速度）為
例7：如圖5—6所示，半徑為r的勻質半球體，其重心在球心
o點正下方c點處，oc=3r/8， 半球重為g，半球放在
水平面上，在半球的平面上放一重為g/8的物體，它與半
球平在間的動摩擦因數， 求無滑動時物體離球心圖5—6
o點最大距離是多少？
解析：物體離o點放得越遠，根據力矩的平衡，半球體轉過的角度越大，但物體在球體斜面上保持相對靜止時，有限度。
設物體距球心為x時恰好無滑動，對整體以半球體和地面接觸點為軸，根據平衡條件有：
得可見，x隨增大而增大。臨界情況對應物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：
.例8：有一質量為m=50kg的直杆，豎立在水平地面上，杆與地面間
靜摩擦因數，杆的上端固定在地面上的繩索拉住，繩
與杆的夾角，如圖5—7所示。
（1）若以水平力f作用在杆上，作用點到地面的距離為桿長），要使杆不滑倒，力f最大不能越過多少？
（2）若將作用點移到處時，情況又如何？
解析：杆不滑倒應從兩方面考慮，杆與地面間的靜摩擦力達到極限的前提下，力的大小還與h有關，討論力與h的關係是關鍵。
杆的受力如圖5—7—甲所示，由平衡條件得
另由上式可知，f增大時，f相應也增大，故當f增大到最大靜摩擦力時，杆剛要滑倒，此時滿足：
解得：由上式又可知，當時對f就沒有限制了。
（1）當，將有關資料代入的表示式得
（2）當無論f為何值，都不可能使杆滑倒，這種現象即稱為自鎖。
例9：放在光滑水平面上的木板質量為m，如圖5—8所示，板上有
質量為m的小狗以與木板成角的初速度（相對於地面）
由a點跳到b點，已知ab間距離為s。求初速度的最小值。 圖5—8
解析：小狗跳起後，做斜上拋運動，水平位移向右，由於水平方向動量守恆，木板向左運動。小狗落到板上的b點時，小狗和木板對地位移的大小之和，是小狗對木板的水平位移。
由於水平方向動量守恆，有 ①
小狗在空中做斜拋運動的時間為 ②
又將①、②代入③式得
當有最小值，。
例10：一小物塊以速度沿光滑地面滑行，然後沿光滑
曲面上公升到頂部水平的高台上，並由高台上飛出，如圖5—9
所示， 當高台的高度h多大時，小物塊飛行的水平距離s最
大？這個距離是多少？（g取10m/s2）
解析：依題意，小物塊經歷兩個過程。在脫離曲面頂部之前，小物塊受重力和支援力，由於支援力不做功，物塊的機械能守恆，物塊從高台上飛出後，做平拋運動，其水平距離s是高度h的函式。
設小物塊剛脫離曲面頂部的速度為，根據機械能守恆定律，
小物塊做平拋運動的水平距離s和高度h分別為： ②
以上三式聯立解得：
當時，飛行距離最大，為。
例11：軍訓中，戰士距牆s，以速度起跳，如圖5—10所示，
再用腳蹬牆面一次，使身體變為豎直向上的運動以繼續
公升高，牆面與鞋底之間的靜摩擦因數為。求能使人體
重心有最大總公升高的起跳角圖5—10
解析：人體重心最大總公升高分為兩部分，一部分是人做斜上拋運動上公升的高度，另一部分是人蹬牆所能上公升的高度。
如圖5—10—甲，人做斜拋運動，
重心公升高為
腳蹬牆面，利用最大靜摩擦力的衝量可使人向上的動量增加，即
，所以人蹬牆後，其重心在豎直方向向上的速度為
，繼續公升高，人的重心總公升高
h=h1+h2=時，重心公升高最大。
例12：如圖5—11所示，一質量為m的平頂小車，以速度沿水
平的光滑軌道做勻速直線運動。現將一質量為m的小物塊無
初速地放置在車頂前緣。已知物塊和車頂之間的滑動摩擦因
數為。 （1）若要求物塊不會從車頂後緣掉下，則該車頂最少要多長？
（2）若車頂長度符合（1）問中的要求，整個過程中摩擦力共做多少功？
解析：當兩物體具有共同速度時，相對位移最大，這個相對位移的大小即為車頂的最小長度。
設車長至少為l，則根據動量守恆
根據功能關係
解得 ，摩擦力共做功
例13：一質量m=200kg，高2.00m的薄底大金屬桶倒扣在寬廣的
水池底部，如圖5—12所示。桶的內橫截面積s=0.500m2，
桶壁加桶底的體積為v0=2.50×10－2m3。桶內封有高度為
l=0.200m的空氣。池深h0=20.0m，大氣壓強p0=10.00m水
柱高，水的密度，重力加速度取g=10.00m/s2。若用圖中所示吊繩將桶上提，使桶底到達水面處，求繩子拉力對桶所需何等的最小功為多少焦耳？
（結果要保留三位有效數字）。不計水的阻力，設水溫很低，不計其飽和蒸汽壓的影響。並設水溫上下均勻且保持不變。
解析：當桶沉到池底時，桶自身重力大於浮力。在繩子的作用下
桶被緩慢提高過程中，桶內氣體體積逐步增加，排開水的
體積也逐步增加，桶受到的浮力也逐漸增加，繩子的拉力
逐漸減小，當桶受到的浮力等於重力時，即繩子拉力恰好
減為零時，桶將處於不穩定平衡的狀態，因為若有一擾動
使桶略有上公升，則浮力大於重力，無需繩的拉力，桶就會圖5—12—甲
自動浮起，而不需再拉繩。因此繩對桶的拉力所需做的最
小功等於將桶從池底緩慢地提高到浮力等於重力的位置時繩子拉桶所做的功。
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