第八講恒等證明
一、選擇題
1．已知（ ）
a． b． c． d．1
2．已知：x + y + z = 3，且，則（ ）
a．x,y,z的值都相等且均為1b．x,y,z的值都相等且均不為1
c．x,y,z的值不相等，但至少有乙個為1; d．以上說法都不對
3．已知：，則下列說法正確的是（ ）
a．a,b,c均相等b．
c．; d．
4．若，則以下說法正確的是（ ）
a．; b．; c．; d．
5．已知，實數x,y,z滿足，則=（ ）
a．4 b. c. d.以上都不對
二、填空題
1．已知：，則
2．如果等式，對於任意的實數x都成立，則
3．設a,b,c均為正實數，且滿足，則以長為a,b,c的三條線段_________構成三角形，（填「能」或「否」）
4．化簡的值_______1。（填「大於」「小於」「等於」）
5．小勇有乙個哥哥和乙個弟弟，哥哥的年齡是20歲，小勇的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等於97，小勇的年齡是歲，他弟弟的年齡是
三、解答題
1．證明以下各式：
（1）（2）.
2．證明以下各式：
（1）（2）x,y,z是互不相等的三個實數則：
.3．已知：a + b + c = abc,
求證：.
4．已知：a + b + c = 0,則求：的值。
5．設實數a,b,c滿足：，
求證：答案一、選擇題
1．d2．c
3．b4．b
5．c1．∵
∴所以選項d正確
2．∵x + y + z = 3
∴ x – 1 + y – 1 + z – 1 =0 (1)
而 (2)
由公式：
∴所以由（1）（2）可得：3(x – 1 )(y – 1 )(z – 1 ) = 0
所以x – 1 = 0或y – 1 = 0或z – 1 = 0
所以選項c正確
3．分析要證：
只要證：
即： ∵a + c ≠0
∴ ∴只要證： 即
所以選項b正確
同理可證：若選項c正確，則
4．∵14∴∴
∴∴2a = b, 3b = 2c, c = 3a
∴5．∵
∴由（1）代入上式得：xy + xz + yz =……（4）
而把（3）（4）代入上式得：xyz =……（5）
由（4）平方得：
把（5）代入上式得：
而： 二、填空題
1．，-2；
2．9；
3．能；
4．等於；
5．16，13
1．∵ ∴∴
當x = 1時，原式=
當時，∵∴則
2．∵對於任意的x值均成立
則令x = 1時，1 =
再令x = - 1時，
由（1）+（2）可得：
∴3．∵ ∴∴
∴∵a,b,c均為正數
∴- (a + b + c ) < 0
∴(a + b – c )(a + c – b )(b + c – a ) > 0
情況1：若a + b – c , a + c – b , b + c – a 均大於0，則可以構成三角形；
情況2：若只有a + b – c > 0 ，則a + c – b < 0 且b + c – a < 0，
∴2c < 0與已知矛盾
所以情況2不可能，即必可構成三角形。
4．原式=
5．解：設小勇年齡是x歲，弟弟年齡是y歲，其中x,y均為正整數，且20 > x > y ≥1，則依題意可得：
2x + 5y = 97
y =因為y為正整數，所以也為正整數，且1 < x < 20，x為正整數，並且x > y；
所以只有x = 16時，y = 13，滿足題意。
三、解答題
1．原式左邊=
所以等式成立
（2）原式左邊=
所以等式成立
2．證明：
（1）等式左邊=
所以等式成立
（2）左邊 – 右邊=
所以等式成立
3．等式左邊=
∵a + b + c = abc
∴原式=abc – ab(abc – c ) – bc (abc –a ) – ac (abc – b ) + abc (ab + ac +bc)
4．∵a + b + c =0
∴a + b = -c, a + c = -b, b + c = -a
則原式=
∵a + b + c = 0
∴∴上式=9
5．∵∴bc(a + b + c ) + ac (a + b + c ) + ab(a + b + c ) = abc
∴∴(b + c )(a + b )(a + c ) = 0
∴b = -c或a = -b或a = -c
若b = -c，當n為自然數時，即命題得證。
同理：當a = -b，或a = -c時，原命題成立。
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