§7、1 為什麼要證明
學習目標：
1.運用實驗驗證、舉反例驗證、推理論證等方法來驗證某些問題的結論正確與否．
2.經歷觀察、驗證、歸納等過程，培養推理意識．
3.了解檢驗數學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理論證等． 學習過程：閱讀教材p162-163
以前，我們通過觀察，實驗、歸納得到了很多正確的結論。觀察、實驗、歸納得到的
結論一定正確嗎？讓我們一來**，從而認識到證明的必要性。活動1:1、如圖中兩條線段a 與b 的長度相等嗎？
請你先觀察，再度量一下。 結論：a 與b 的長度
2、如圖把地球看成球形，假如用一根比地球赤道長1公尺的鐵絲將地球赤道圍起來，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進乙個拳頭嗎？先憑感覺想象一下，再具體算一算，和你的感覺一樣嗎？
大家一起算一算：
設赤道周長為c ，則赤道的半徑為鐵絲圍成的圓的半徑為
所以鐵絲與地球赤道之間的間隙為結論：
活動2於所有自然數n ，
n 2-n+11
的值都是質數．你認為呢？與同伴交流． n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…
n 2-n+11 11
1113
1723
3141
5367
83101 121
是否為質數是是是
是你的結論是：
活動3：如圖，在△abc 中，點d,e 分別是ab,ac 的中點，連線de 。de 與bc 有怎樣的
位置關係和數量關係？請你先猜一猜，再設法檢驗你的猜想，你能肯定你的結論對所有的△abc 都成了嗎？
小組間進行、交流。
結論：歸納、結論：實驗、觀察、歸納得到的結論可能也可能因此，要判斷
數學結論僅僅依靠實驗、觀察、歸納是不夠的，必須進行課堂檢測：
1、圖中三條線段a 、b 、c ，哪一條線段與線段d 在同一直線上？請你先觀察，再用三角尺驗證一下.
2、n 為正整數時，n 2+3n +1的值一定是質數嗎課堂評價ba
別太相信你的眼睛和直覺呦！ edc
b a
§7、2、1 定義與命題（1）
學習目標：1.了解定義、命題、真命題、假命題的含義，會區分某些語句是不是命題．
2.會區分乙個命題的條件和結論，了解判斷命題真假的方法。
學新準備：請你舉出你所熟知的一些定義例子學習過程：閱讀教材p165-166頁
活動1：下面的語句中，哪些語句對事物作出了判斷，哪些沒有？
（1） 任何乙個三角形一定有乙個角是直角； （2） 對頂角相等；
（3） 無論n 為怎樣的自然數，式子112
+-n n 的值都是質數； （4） 如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行； （5） 你喜歡數學嗎？ （6） 作線段ab=cd
你的結論是： 歸納、總結知識點：
定義：判斷一件事情的叫做
如果乙個句子沒有對某一件事情做出任何 ，那麼它就不是即時練習：下列句子哪些是命題？
（1）動物都需要水2）猴子是動物的一種； （3）玫瑰花是動物4美麗的天空； （5相等的角是對頂角6）負數都小於零；
（7）你的作業做完了嗎8）所有的質數都是奇數； （9）過直線l 外一點作l 的平行線； （10）如果a=b,a=c,那麼b=c; 活動2：觀察下列命題，，你能發現這些命題有什麼共同的結構特徵？
（1） 如果乙個三角形是等腰三角形，那麼這個三角形的兩個底角相等；
（2） 如果a=b,那麼2
2b a =；
（3） 如果兩個三角形中有兩邊和乙個角分別相等，那麼這兩個三角形全等。 結構特徵：
結論：一般地，每個命題都由和兩部分組成。 是已知的事項是由已知事項推斷出的事項。命題通常可以寫成的形式，其
中引出的部分是條件引出的部分是結論。 即時練習：指出下列各命題的條件和結論，其中哪些命題是錯誤的？
（1） 如果兩個角相等，那麼它們是對頂角； （2） 如果a ≠b,b ≠c,那麼a ≠c; （3） 全等的三角形的面積相等；
（4） 如果室外氣溫低於0℃，那麼地面上的水一定會結冰。
結論：乙個命題有正確的和錯誤的，我們把正確的命題稱為不正確的命題稱為要說明乙個命題是常常可以舉出乙個例子，使它具備命題的而不具備命題的這種例子稱為即時訓練：
指出下列各命題的條件和結論，並指出哪些是真命題，哪些是假命題，並通過反例來說明假命題。
（1） 如果5月4日是星期一，那麼5月11日也是星期一；
（2） 三個內角都相等的三角形是等邊三角形；
（3） 如果3
325x
x -=
-，那麼x=4；
（4） 兩個銳角之和一定是鈍角；
（5） 如果02
φx ，那麼0φx ；
（6） 兩邊分別相等且其中一組等邊的對角相等的兩個三角形全等。
課堂檢測：
指出下列命題的條件和結論分別是什麼？各是什麼命題？
（1） 如果兩個三角形的兩邊及其夾角分別相等，那麼這兩個三角形全等；
（2） 如果乙個三角形中有兩個角相等，那麼這個三角形是等腰三角形；
（3） 直角三角形的兩銳角互餘；
（4） 兩直線平行，同位角相等；
課堂評價
§7、2、2 定義與命題（2）
學習目標：1.了解公理、證明、定理的含義；
2.識記本教材所採用的公理．
3、初步體會證明的思路與書寫的過程。
學新準備：1、什麼叫做定義？舉例說明．什麼叫命題？舉例說明
2、找出下述命題中的條件和結論，指出它們哪些是正確的命題？哪些是不正確的命題？
（1）如果兩個角相等，那麼它們是對頂角；
（2）如果a＞b，b＞c，那麼a＝c；
（3）兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等；
（4）菱形的四條邊都相等；
（5）全等三角形的面積相等
學習過程：閱讀教材p168-170頁，完成下列問題:
（一）知識點：公理、證明、定理的含義
公理：證明：
定理：識記本教材的八條公理：
①②③④⑤⑥⑦⑧
它命題的正確性，另外一條我們將在以後認識它。此外等式和不等式的有關性質也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那麼a=c．
（二）你能用所學的公理、定義、性質完成下列定理的證明嗎？試試看？
定理：同角（等角）的補角相等。
同角（等角）的餘角相等。
三角形的任意兩邊之和大於第三邊。
範例：定理：對頂角相等
已知：如圖，直線ab與直線cd相交於點o，∠aoc與∠bod是對頂角。
求證：∠aoc=∠bod
證明：∵直線ab與直線cd相交於點o （
∴∠aob和∠cod都是平角（
∴∠aoc和∠bod都是∠aod的補角（
∴∠aoc=∠bod （）
總結：證明乙個命題的步驟：
①根據命題畫圖，
②根據圖形和命題寫出已知和求證（寫成符號語言）
③根據已知對求證進行證明。
課堂檢測：
1、下列命題是假命題的是（）
a、如果a∥b,b∥c,那麼a∥c
b、銳角三角形中最大的角一定大於或等於60°
c、如果a是有理數，那麼a是實數
d、兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等
2、下列敘述錯誤的是（）
ａ、所有的命題都有條件和結論ｂ、所有的命題都是定理
ｃ、所有的定理都是命題ｄ、所有的公理都是真命題
3、判斷下列命題的真假：
（1）乙個三角形如果有兩個角互餘，那麼這個三角形是直角三角形；
（2）如果∣a∣=∣b∣,那麼33ba
4、寫出下列命題的條件和結論：
（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補；
（2）如果兩個三角形全等，那麼它們對應邊上的高也相等。
5、把下列命題「同角或等角的餘角相等」改寫成「如果……，那麼……」的形式
6、證明：三角形的任意兩邊之和大於第三邊
課堂評價
§7、3 平行線的判定
：學習目標：1.熟練掌握平行線的判定公理及定理；
2.能對平行線的判定進行靈活運用，並把它們應用於幾何證明中
學新準備：兩直線平行的判定方法有哪些？
學習過程：閱讀教材p172-173
活動1：探索平行線判定方法的證明
定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那麼這兩條直線平行。
簡述為：
按要求完成下列問題：
（1）根據題意畫出圖形；(2)寫出已知、求證；（3）完成證明。
已知：求證：
證明：1、證明「兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那麼這兩條直線平行」
簡述為：2、我們可以用右圖的方法作出平行線，你能說說其中的道理嗎？（課本173想一想頁）
注意：已給的基本事實、定義和已經證明的定理以後都可以作為依據，用來證明新的結論。
平行線的判定性質總結：
注意：證明語言的規範化．推理過程要有依據．
課堂檢測：
1、如圖，點b在dc上，be平分∠abd，∠dbe=∠a,則be∥ac,請說明理由
2、 如圖，若mn ⊥ab,∠abc=130°，∠fcb=40°，試判斷直線mn 與ef 的位置關係，
課堂評價
§7、4 平行線的性質
學習目標：1.認識平行線的三條性質。
2.能熟練運用這三條性質證明幾何題。
3.進一步理解和總結證明的步驟、格式、方法學新準備：
1、 同位角相等，兩直線
2、 內錯角兩直線平行。
3、 同旁內角兩直線平行。
學習過程：閱讀教材p175-177頁
活動1：① 畫出直線ab 的平行線cd ，結合畫圖過程思考畫出的平行線，被第三條直線
所截的同位角的關係是怎樣的？
② 平行公理：
③ 兩條平行線被第三條直線所截，同位角是相等的，那麼內錯角、同旁內角有什麼關係？
∵a ∥b (已知)，
∴∠1＝∠2
∵∠1對頂角相等等量代換)．
歸納結論：兩直線平行，
∵a ∥b (已知)
兩直線平行，同位角相等) ∵∠1＋∠4=180180° (等量代換)
歸納結論：兩直線平行，
即時練習：
1、 已知：如圖b ∥a,c ∥a,∠1、∠
2、∠3是直線a 、b 、c 被直線d 截出的同位角。 求證：b ∥c 證明：
2、一條公路兩次拐彎後，和原來的方向相同，第一次拐的角∠b 是130°，第二次拐
的角∠c 是
課堂檢測：
1、已知平行線ab 、cd 被直線ae 所截1)若∠1=110°,可以知道∠2是多少度嗎？為什麼？
(2)若∠1=110°，可以知道∠3是多少度嗎？為什麼？
(3)若∠1=110°，可以知道∠4是多少度嗎，為什麼？
2、如圖是梯形有上底的一部分，已知量得∠a=115°，∠d ＝100°，梯形另外兩個角各是多少度？
m c b a n
f e 3 2 1
da b c
3、如圖，已知直線de經過點a，de∥bc，∠b＝44°，∠c＝57°
(1)∠dab等於多少度？為什麼？
(2)∠eac等於多少度？為什麼？
(3)∠bac、∠bac＋∠b＋∠c各等於多少度？
4、如圖，a、b、c、d在同一直線上，ad∥ef．
(1)∠e＝78°時，∠1、∠2各等於多少度？為什麼？
(2)∠f=58°時，∠3、∠4各等於多少度？為什麼？
課堂評價
§7、5、1三角形內角和定理（1）
學習目標：1.掌握三角形內角和定理的證明及簡單應用。
2.靈活運用三角形內角和定理解決相關問題。
3.用多種方法證明三角形定理，培養一題多解的能力。
學習過程：閱讀教材p178-179
活動1：（1）用摺紙的方法驗證三角形內角和定理．
（2）實驗1：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起。（3）用嚴謹的證明來論證三角形內角和定理．看哪個同學想的方法最多？
方法一：過a點作de∥bc
方法二：作bc的延長線cd，過點c作射線ce∥ba．
注意：掌握輔助線的作法技巧
結論：三角形內角和定理：
即時練習：
如圖，在△abc中，∠b=38°，∠c=62°，ad是△
課堂檢測：
（1）△abc中可以有3個銳角嗎？3個直角呢？2個直角呢？若有1個直角另外兩角有什麼特點？
動手做一做，相信你能行！
ab c
d eac
edcd
ba（2）△abc中，∠c=90°，∠a=30°，∠b=？
（3）∠a=50°，∠b=∠c，則△abc中∠b=？
（4）三角形的三個內角中，只能有____個直角或____個鈍角．
（5）任何乙個三角形中，至少有____個銳角；至多有____個銳角．
（6）三角形中三角之比為1∶2∶3，則三個角各為多少度？
（7）已知：△abc中，∠c=∠b=2∠a。
(a)求∠b的度數；
(b)若bd是ac邊上的高，求∠dbc的度數？
課堂評價
§7、5、2三角形內角和定理（2）
學習目標：1.掌握三角形外角的兩條性質；
2.進一步熟悉和掌握證明的步驟、格式、方法、技巧．
3.靈活運用三角形外角和的兩條性質解決相關問題。
學新準備：1、三角形的內角和等於
2、△abc中，∠c=∠b=4∠a，則∠a= ，∠b= ，∠c= 學習新知：閱讀教材p181-182頁，完成下列問題：
①三角形的外角定義：
結合圖形指明外角的特徵有三：
(1) 頂點在三角形的乙個頂點上．
(2) 一條邊是三角形的．
(3) 另一條邊是三角形某條邊的．
②兩個推論及其應用
**三角形外角的性質：
問題1：如圖，△abc中，∠a=70°，∠b=60°，∠acd是△abc的乙個外角，能由∠a、∠b求出∠acd嗎？如果能，∠acd與∠a、∠b有什麼關係？
問題2：任意乙個△abc的乙個外角∠acd與∠a、∠b的大小會有什麼關係呢？
學生歸納得出：
推論1：三角形的乙個外角等於
推論2：三角形的乙個外角大於
即時練習：
1、已知：∠baf，∠cbd，∠ace是△abc的三個外角．
求證：∠baf+∠cbd+∠ace=360°
結論：三角形的外角和等於
2、已知：如圖，在△abc中，∠c=∠b，ad平分外角∠
3、已知：如圖，p是△abc
內一點，連線pb、pc。
求證：∠bp c＞∠a
課堂評價
第七章回顧與思考學案
學習目標：（1）了解命題的概念與命題的構成；
（2）使學生進一步熟悉平行線的性質定理與判定定理，三角形內角和定理及三角形的外角的性質等概念；
（3）進一步體會證明的必要性；
知識回顧：
1.什麼是定義？什麼是命題？命題由哪兩部分組成？舉例說明！
2.平行線的性質定理與判定定理分別是什麼？
3.三角形內角和定理是什麼？
4.與三角形的外角相關有哪些性質？
5.證明乙個命題的基本步驟是什麼？
題型訓練：
1.下列命題，哪些是真命題？哪些是假命題？如果是真命題，請寫出條件與結論，如果是假
命題，請舉出反例.
（1）同角的補角相等；（2）同位角相等，兩直線平行；（3）若|a|=|b|，則a=b.
2.如圖，ad、be、cf為△abc的三條角平分線,則：∠1+∠2+∠3
3. 用兩個全等的等腰直角三角尺拼成四邊形，則此四邊形一定是_____。
4. 如圖所示，△abc中，∠acd=115°，∠b=55°, 則∠a= , ∠acb=
5. △abc的三個外角度數比為3∶4∶5，則它的三個外角度數分別為
6. 已知，如圖，ab∥cd，若∠abe=130°, ∠cde=152°，則∠bed1a
b cdef
23ab
cda bc def
第2題圖第4題圖第6題圖
7．三角形的乙個外角是銳角，則此三角形的形狀是【】
（a）銳角三角形 (b)鈍角三角形(c)直角三角形（d）無法確定
8．銳角三角形中，最大角α的取值範圍是【】
（a）0＜α＜90(b) 60＜α＜90
(c) 60＜α＜180（d）60≤α＜90
6、如圖：∠a=65，∠abd=∠bce=30，且ce平分∠acb,求∠bec.
7、如圖，ab，cd相交於o，且∠c＝∠1。試問：當∠2與∠d有什麼大小關係時，ac∥bd？請證明你的結論。
8、如圖，ad⊥bc，ef⊥bc，∠3=∠c.
求證：∠1=∠2.
課堂評價ab
gd f ce1
32ed
c ba
第八章平行線的有關證明複習學案
學習目標 掌握定義 命題 公理和定理等概念,知道命題的結構，會判斷命題的真假，能寫出乙個命題的逆命題,進一步理解平行線的判定和性質，三角形內角和外角的性質以及證明的基本步驟.並能靈活運用進行計算和證明.重點難點 平行線的判定和性質，三角形內角和外角的性質以及證明的基本步驟.並能靈活運用進行計算和證明...
第八章平行線的有關證明單元備課
單元分析 本章是在前面對幾何結論已經有了一定的直觀認識的基礎上編排的。前幾冊對有關幾何結論也曾進行過簡單的說理，但是並沒有嚴格地給出證明.雖然本章只是證明的初步，但是它對認識證明的必要性，了解作為證明基礎的公理 定義 定理等非常重要。同時，通過有關平行線和三角形的一些簡單定理的證明，初步掌握證明的要...
第八章平行線的證明測試B卷
第八章平行線的證明測試 b 出題人 李明芹 姓名班級等級 一 選擇題 每題5分 1.如圖1所示，直線，被直線所截，1 2，若 3 30 則 4等於 2 如圖2所示，abc 46 de bc，df ab於點f，則 d 3 如圖3所示，ab cd，1 105 3 130 則 2 4 如圖4，小明利用一張...