個人簡介
概率論是數學的乙個有特色的分支．一方面，它有別開生面的研究課題有自己獨特的概念和方法，內容豐富，結果深刻；另一方面，它與其它數學分支又有緊密的聯絡，它是近代數學的重要組成部分．
概率論的理論和方法向各個基礎學科、工程學科的滲透是近代科學校術發展的特徵之一．概率論與其它學科相結合發展成不少邊緣學科，如生物統計、統計物理和數學地質等；它又是許多新的重要學科的基礎，如資訊理論控制論、可靠性理論和人工智慧等．
通過本課程的教學，使學生掌握處理隨機現象數量規律的基本原理和方法，培養學生解決某些有關實際問題的能力．為後繼課程的學習奠定堅實的基礎
引言一、什麼是概率論[學習目的]
1、確定性現象——在試驗之前就能斷定試驗有乙個確定結果的現象。
當我們多次觀察自然現象和社會現象，會發現許多事情在一定的條件下必然會發生．
例如在沒有外力作用的條件下，作等速直線運動的物體必然繼續作等速直線運動;在不受外力作用的條件下，作等速直線運動的物體改變其等速直線運動狀態是不可能的．
又如在海邊生活時，水加熱到100℃時必然會沸騰等等．
2、隨機現象——在試驗之前無法確定試驗結果的現象。
例如用同一儀器多次測量同一物體的重量，所得結果彼此總是略有差異，這是由於諸如測量儀器受大氣影響，觀察者生理上或心理上的變化等等偶然因素引起的．
同樣地，同一門炮向同一目標發射多發同種炮彈，彈落點也不一樣，因為炮彈製造時種種偶然因素對炮彈質量有影響．此外，炮筒位置的誤差，天氣條件的微小變化等等都影響彈落點．
再如從某生產線上用同一種工藝生產出來的燈泡的壽命也有差異等等．
總之，所舉這些現象的—個共同的特點是：在基本條件不變的情況下一系列試驗或觀察會得到不同的結果．換句話說，就個別的試驗或觀察而言．它會時而出現這種結果，時而出現那種結果，呈現出一種偶然性這種現象就是隨機現象．
3、概率論——研究隨機現象的數量規律的乙個數學分支。
4、學習目的——能運用本課程基本原理和方法處理隨機現象問題，
二、怎樣學概率論[學習要求]
1、學習內容——第一章至第九章(具體見書)
要注意學習代數及波雷爾集、特徵函式、維正態分佈、方差分析以及多元線性回歸，同時要認真掌握許多定理的數學證明。
2、教學安排——每兩周10學時講課，其中2學時習題課。
3、學習要求——專心聽講、做好筆記、預習複習、完成作業、遵守紀律。
4、參考資料——復旦大學《概率論(第一冊概率論基礎)》；
戴宗舒《概率論與數理統計教程》；
華工.毛剛源《概率論與數理統計》解題方法技巧歸納
華東師大《數學分析》；北大《高等代數》,
王柔懷《常微分方程講義》；
江澤堅等《實變函式論》；余家榮《復變函式論》.
第一章預備知識
第一節集合
一、概念
1、集合——具有某種特定性質的事物組成的集體；
例如：① 自然數集:；② 整數集； ③ 有理數集:；
④ 實數集:；⑤複數集:；⑥維歐氏空間:.
⑦；,.
2、元素——組成集合的各個事物；、.
3、空集——不含有任何元素的集合。
4、全集——所研究的所有事物組成的集合。
二、集合分類
1、有限集——僅含有限多個元素的集合或空集；
2、無限集——含有無限多個元素的集合；
可數集——能與自然數集建立1-1對應關係的集合,用表示所有可數集組成的集合；
不可數集——無限集中不能與自然數集建立1-1對應關係的集合。
注：有限集與可數集統稱為至多可數集.
例如：、、等.下面證明是不可數集.
證明:假設是可數集，那麼，而，，
……，…… .
令，其中為中非的自然數，
顯然,於是.矛盾，說明是不可數集.
三、集合關係與運算
1、子集——；
2、相等——；
3、交集——,簡記為；
4、並集——；若,簡記為；
5、差集——；
6、餘集——，其中為全集。 顯然：.
7、極限——
(1)、若，稱單調不減,記作，
並定義；
(2)、若，稱單調不增, 記作，
並定義.
8、迪卡爾積——.
四、性質
1、定理：(1)；(2).
推廣：(1)；(2).
證明：先證(1).，有
.(1) 得證.再證(2).
.(2)得證.
2、.證明：先證.，有
,.再證.
.3、.[顯然]
4、.證明：僅證即可...
五、代數及波雷爾集
1、代數——設為集的某些子集構成的集類，滿足：
、；、若，則；
、若，,則，
則稱為代數。
2、代數性質:[任何交、並、差均封閉且含空集]
⑴、.證明：
⑵、若，,則，，.
證明：,
, .
⑶、若，則.
證明：.
⑷、設為集的某些子集構成的非空集類,那麼必存代數.
滿足：①;②代數，若，則.
稱為包含的最小代數，亦稱為由生成的代數.
證明：顯然是包含的代數，令：
，顯然滿足①②，下面證明是代數.
，；2), , ,;
3) ，,
所以是代數.證畢.
作業：設, ,求.
3、波雷爾集
⑴、一維波雷爾集類
,.例如：①，②，③.[留作練習]
說明：常見的數的集合均為波雷爾集.
⑵、維波雷爾集類
，.其中：.
六、可測集
1、中的區間：,
並定義.
2、外測度:設集合,定義的外測度為：
.3、內測度: 設集合,定義的內測度為：
.易證：.
4、可測集：對於有界集合,若,則稱為可測集,稱為的測度,用表示. 即.
5、性質：
(1)均可測,且,則.
(2)均可測,則.
(3)均可測,若,則.
(4) 均可測,若, ,
則.(5)可測, 必有不增,且, ,
其中是左開右閉隔離區間,即,.
(6)維波雷爾集是可測集.,將記作.若是區域，
顯然.6、特別規定：若是元有限集()，記.
七、可數集的性質
1、設,且為無限集,則. (顯然)
2、設,為有限集,則. (顯然)
3、設,為非空至多可數,則.
證明:可按排列,
此排列與的無窮子集有1-1對應關係.
,可按, ,排列.
此排列與1-1對應.
4、整數集、有理數集均可數.
證明: 整數集顯然,
與的無窮子集1-1對應,由1、3可得.
5、設至多可數,且,則.可見.
證明: 設不妨設, , ,總存在區間,使得
，且，這樣,所以.
6、設為上的隔離區間,即, , , 則至多可數. 因而至多可數.
證明:,在中取一有理數,則與1-1對應,因而至多可數,故至多可數.
7、一元單調函式的不連續點集合至多可數. 那麼.若在上有定義,則其連續點在上處處稠密,即, ,在中總有的連續點.
證明:,因,總存在,令,
因隔離故至多可數.
第二節排列與組合
一、加法原理與乘法原理
1、加法原理——完成某項工作有甲、乙兩種不同的方式，甲方式有種方法，乙方式有種方法，都可以完成這項工作，則完成這項工作總共有種方法。
2、乘法原理——完成某項工作必須通過甲、乙兩個步驟，甲步驟有種方法，乙步驟有種方法，則完成這項工作總共有種方法。
加法原理和乘法原理可推廣為多種不同的方式和多個步驟.
二、排列
1、選排列——從個不同的元素中，每次取出個不同的元素按一定的順序排成一列。其排列種數記為.顯然由乘法原理可知：
.2、全排列——選排列中當時稱為全排列.其總數為：.
3、有重複的排列——從個不同的元素中，每次取出個元素，允許重複，按一定的順序排成一列。其排列種數為.
三、組合
1、組合——從個不同的元素中，每次取出個不同的元素，不考慮其順序合併成一組。其組合種數記為.可以證明：
因為例1 (k組合) 從個不同的元素中，按每組取出個不同的元素並不考慮其順序組成組。其組合種數為：
因為例2個不同的元素分成組，從每組個元素中取出個元素，將這些取出的不同元素不考慮其順序組成一組。其種數為：
2、公式
(1).
證明：.
(2).
證明：.
(3).
證明：將個不同的元素分成ⅰ與ⅱ兩類,其中ⅰ類中有個,ⅱ類中有個.從這個不同的元素，每次取出個不同的元素，不考慮其順序合併成一組,其數量為.
完成這項工作可按以下種方式完成：第種方式是從ⅰ類中取個，從ⅱ類中取個，由乘法原理知有種取法,
再由加法原理,知道
.(4).
證明：當時,顯然成立.假設公式對也成立，那麼
令. 其中: .
第1章程式設計預備知識
單項選擇題 0101.下列敘述中錯誤的是 a.c語言是高階語言，所以其源程式無需編譯就可以執行。b.c程式經過編譯.連線步驟之後才能形成乙個真正可執行的二進位制機器指令檔案 c.c語言源程式經編譯後生成字尾為.obj的目標程式 d.c語言中的每條可執行語句和非執行語句最終都將被轉換成二進位制的機器指...
第01章測量的初步知識
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第1章預備知識及其基本操作
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