材料力學筆記慣性矩

一、截面對形心軸的軸慣性矩

矩形、實心圓、空心圓、薄壁圓截面的軸慣性矩分別為

式中，d—實心圓直徑和空心圓內徑，d—空心圓外徑，r0—薄壁圓平均半徑。t—薄壁圓壁厚。

慣性矩i量綱為長度的四次方（mm4），恒為正。

二、截面抗彎剛度eiz和抗彎截面模量wz

上式代表距中性層為y處的任一縱向「纖維」的正應變，式中的ρ對同一橫截面來說是個常數，所以正應變ε與y成正比（上縮下伸），與z無關。式（a）即為橫截面保持平面，只繞中性軸旋轉的數學表示式，通常稱為幾何方面的關係式。

式（b）表示橫截面上正應力沿梁高度的變化規律，即物理方面的關係式。由於式中ρ對同一橫截面來說是個常數，均勻材料的彈性模量e也是常數，所以橫截面上任一點處的正應力與y成正比（上壓下拉）。顯然中性軸上的正應力為零，而距中性軸愈遠，正應力愈大，最大正應力σmax發生在距中性軸最遠的上下邊緣（圖7.

2-4）。

圖7.2-4 彎曲正應力分布

上式即為對稱彎曲正應力公式。當y=ymax時，得出最大正應力公式，即

式中稱為抗彎截面模量（section modulus in bending），其量綱是長度的三次方。

表7.2-i列出了簡單截面的iz和wz計算公式。表中α=d/d，r0為薄壁圓平均半徑。

三、平行軸間慣性矩的移軸公式

圖b.3-3

如圖b.3-3所示，設y0、z0為截面的一對形心軸，如果截面對形心軸的慣性矩為和，則截面對任一平行於它的軸y和z的慣性矩為：

上式稱為慣性軸的移軸公式或稱平行軸定理（parallel axis theorem）。式中a為截面面積，a和b分別為座標軸y0和y以及z0和z之間的垂直距離。

如為組合截面，則上式表示為

讀者自行計算下圖各截面對z軸的靜矩和慣性矩：

四、極慣性矩

1. 定義

2. 圓截面的極慣性矩