第十三講 §2—6 換麵法
課題：1、換麵法的概念
2、點的投影變換
3、直線的投影變換
4、平面的投影變換
5、換麵法投影變換應用舉例
課堂型別：講授
教學目的：1、講解換麵法的投影變換規律
2、講解換麵法的四個基本作圖方法
教學要求：1、理解並熟練掌握一次換麵、二次換麵中點的投影的作圖規律
2、掌握換麵法的四個基本作圖方法，並能夠應用於解題實踐
教學重點：換麵法的四個基本作圖方法
教學難點：新投影面、新投影軸的選擇和投影的返回（換麵法的反向作圖）
教具：掛圖：「將一般位置直線變換成投影面平行線」；
「將一般位置直線變換成投影面垂直線」；
「將一般位置平面變換成投影面垂直面」；
「將一般位置平面變換成投影面平行面」。
教學方法：理論講解和實際演示作圖相結合。
教學過程：
一、複習舊課
結合作業中的問題，說明在平面上取點、取直線、取投影面平行線的作圖方法。
二、引入新課題
在解決工程實際問題時，經常遇到求解度量問題，如實長、實形、距離、夾角等，或者求解定位問題，如交點、交線等。通過對直線或平面的投影分析可知，當直線或平面對投影面處於一般位置時，在投影圖上不能直接反映它們的實長、實形、距離、夾角等；當直線或平面對投影面處於特殊位置時，在投影圖上就可以直接得到它們的實長、實形、距離、夾角等。換麵法就是研究如何改變空間幾何元素對投影面的相對位置，以達到簡化解題的目的。
三、教學內容
（一）換麵法的概念
1、概念
空間幾何元素的位置保持不動，用新的投影面代替原來的投影面，使幾何元素在新投影面上的投影對於解題最為簡便，這種方法稱為變換投影面法，簡稱換麵法。
2、舉例
如圖2－49所示為一處於鉛垂位置的三角形平面在v／h體系中不反映實形，現作乙個與h面垂直的新投影面v1平行於三角形平面，組成新的投影面體系v1／h，再將三角形平面向v1 面進行投影，這時三角形平面在v1面上的投影就反映該平面的實形圖2－49 換麵法的原理
（二）點的投影變換
點是最基本的幾何元素，因此必須首先研究在變化投影面時，點的投影變換規律。
1、新投影面的選擇
在進行投影變換時，新投影面是不能任意選擇的，首先要使空間幾何元素在新投影面上的投影能夠幫助我們更方便地解決問題。並且新投影面必須要和不變的投影面構成乙個直角兩面體系，這樣才能應用正投影原理作出新的投影圖來。因而新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件：
（1）新投影面必須垂直於原投影面體系中的乙個不變的投影面。
（2）新投影面必須使空間幾何元素處於有利於解題的位置。
2、點的一次換麵
根據選擇新投影面的條件可知，每次只能變換乙個投影面。變換乙個投影面即能達到解題要求的稱為一次換麵。
（1）變換v面，即v／h→v1／h
如圖2－50中a、a′ 為點a在v／h 體系中的投影，在適當的位置設乙個新投影面v1代替v，必須使v1⊥h，從而組成了新的投影體系v1／h。 v1與h 的交線 x1為新的投影軸。由a 向v1作垂線得到新投影面上的投影a1′ ，而水平投影仍為a 。
（ab）
圖2－50 變換v面
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
（2）變換h面，即v／h→v／h1
從圖2－51中看出，用h1代替h組成新投影面體系v／h1，由於v面不變，所以點到v面的距離不變。即a1a x1 = aa x = y座標。
（ab）
圖2－51 變換h面
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
3、點的二次換麵
點的二次變換的原理和方法與第一次變換基本相同，只是將作圖過程重複一次，但要注意新、舊體系中座標的量取，其作圖方法和步驟如圖2－52所示：
（ab）
圖2－52 點的二次變換
注意：新投影面的設定必須符合前述兩個原則，而且必須交替變換，若第一次用v1面代替v面，組成v1／h新體系，第二次變換則應用h2面代替h面組成v1／h2體系，可如此交替多次變換達到解題目的。
（三）直線的投影變換
直線是由兩點決定的，因此當直線變換時，只要將直線上任意兩點的投影加以變換，即可求得直線的新投影。
在解決實際問題時，根據實際需要經常要將一般位置線變換成平行或垂直於新投影面的位置。
1、直線的一次換麵
（1）將一般位置線變換為投影面平行線
當一般位置線變換為投影面平行線時，就可以求出線段的實長和對投影面的傾角。
舉例：如圖2－53所示，ab為一般位置線，如要變換為正平線，則必須變換v面，使新投影面v1面平行ab，這樣ab在v1面上的投影a1′ b1′ 將反映ab的實長，a1′ b1′ 與x1軸的夾角反映直線對h面的傾角α。
（ab）
圖2－53 一般位置線變換為投影面平行線（求α角）
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
（2）將投影面平行線變換為投影面垂直線
舉例：如圖2－55所示，將正平線ab變換為垂直線。根據投影面垂直線的投影特性，反映實長的投影必定為不變投影，只要變換水平投影面，即作新投影面h1面垂直ab，這樣ab在h1面上的投影重影為一點 。
（ab）
圖2－55 正平線變換為投影面垂直線
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
在上例中，如果要求將水平線ab變換為垂直線，只要變換正投影面，即作新投影面v1面垂直ab，這樣ab在v1面上的投影重影為一點，如圖2－56所示。邊作圖演示邊講解作圖步驟。
（ab）
圖2－56 水平線變換為投影面垂直線
2、直線的二次換麵
直線的二次換麵可以將一般位置線變換為投影面垂直線。第一次將一般位置線變換為投影面平行線，第二次將投影面平行線變換為投影面垂直線。
舉例：如圖2－57所示，ab為一般位置線，如先變換v面，使v1面平行ab，則ab在v1／h體系中為投影面平行線，再變換h面，作h2面垂直ab，則ab在v1／h2體系中為投影面垂直線。
（a） （b）
圖2－57 一般位置線變換為投影面垂直線
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
（四）平面的投影變換
平面的投影變換，就是將決定平面的一組幾何要素的投影加以變換，從而求得平面的新投影。根據具體要求，可以將平面變換成平行或垂直於新投影面的位置。
1、平面的一次換麵
（1）將一般位置面變換為投影面垂直面
當一般位置面變換為投影面垂直面時，就可以求出平面對投影面的傾角。
舉例：如圖2－58所示，△abc為一般位置面，如要變換為正垂面，則必須取新投影面v1代替v面，v1面既垂直於△abc，又垂直於h面，為此可在三角形上先作一水平線，然後作v1面與該水平線垂直，則它也一定垂直h面。
（ab）
圖2－58 一般位置平面變換為投影面垂直面（求α角）
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
在上例中，如果要求△abc 對v面的傾角β，可在此三角形平面上先作一正平線ae，然後作h1面垂直ae，則△abc在h1面上的投影為一直線，它與x1軸的夾角反映△abc對v面的傾角β，如圖2－59所示。邊作圖演示邊講解作圖步驟。
圖2－59 一般位置平面求β角
（2）將投影面垂直面變換為投影面平行面
舉例：如圖2－60所示為鉛垂面△abc，要求變換為投影面平行面。根據投影面平行面的投影特性，重影為一直線的投影必定為不變投影，因此可以變換v面，使新投影面v1平行△abc，這樣△abc在v1面上的投影△a1′ b1′ c1′ 反映實形。
（ab）
圖2－60 垂直面變換為平行面
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
2、平面的二次換麵
平面的二次換麵可以將一般位置面變換為投影面平行面。第一次將一般位置面變換為投影面垂直面，第二次將投影面垂直面變換為投影面平行面。
舉例：如圖2－61（a）所示為△abc為一般位置面，為了求出它的實形，必須變換兩次，先將△abc變換為垂直面，再變換為平行面。
（ab）
圖2－61 一般位置面變換為投影面垂直面
邊作圖演示邊講解作圖步驟。
同理，也可以先變換h面，在此基礎上再變換一次v面，如圖2－61（b）所示，
△a2′b2′c2′ 為所求實形。
（五）換麵法投影變換應用舉例
1、講解例題（例2－12） 求c點到ab直線的距離。如圖2－62（a）所示。
作圖方法與步驟如圖2－62 (b)所示：
ab）圖2－62 求點到直線的距離
2、講解例題（例2－13） 求d點到平面△abc的距離。如圖2－63（a）所示。
作圖方法與步驟如圖2－63 (b)所示。
（ab）
圖2－63 求點到平面的距離
3、講解例題（例2－14） 求交叉兩直線ab、cd間的距離。如圖2－64（a）所示。
作圖方法與步驟如圖2－64 (b)所示。
（ab）
圖2－64 求兩交叉直線間的距離
4、講解例題（例2－15） 求兩平面△abc 、△abd之間的夾角。如圖2－65（a）所示。
作圖方法與步驟如圖2－65(b)所示。
（ab）
圖2－65 求兩平面之間的夾角
四、小結
總結例題，歸納直線和平面投影變換的作圖方法和步驟。
五、布置作業
第十三講張載
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