《土質學與土力學》
第五章土體中的應力計算
第一節概述
大多數建築物是造建在土層上的，我們把支承建築物的這種土層稱為地基。由天然土層直接支承建築物的稱天然地基，軟弱土層經加固後支承建築物的稱人工地基，而與地基相接觸的建築物底部稱為基礎。
地基受荷以後將產生應力和變形，給建築物帶來兩個工程問題，即土體穩定問題和變形問題。如果地基內部所產生的應力在土的強度所允許的範圍內，那麼土體是穩定的，反之，土體就要發生破壞，並能引起整個地基產生滑動而失去穩定，從而導致建築物傾倒。地基中的應力，按照其因可以分為自重應力和附加應力兩種：
自重應力：由土體本身有效重量產生的應力稱為自重應力。一般而言，土體在自重作用下，在漫長的地質歷史上已壓縮穩定，不再引起土的變形（新沉積土或近期人工充填土除外）。
附加應力：由於外荷（靜的或動的）在地基內部引起的應力稱為附加應力，它是使地基失去穩定和產生變形的主要原因。
附加應力的大小，除了與計算點的位置有關外，還決定於基底壓力的大小和分布狀況。
一、應力～應變關係的假定
真實土的應力～應變關係是非常複雜的，目前在計算地基中的附加應力時，常把土當成線彈性體，即假定其應力與應變呈線性關係，服從廣義虎克定律，從而可直接應用彈性理論得出應力的解析解。
1、關於連續介質問題
彈性理論要求：受力體是連續介質。而土是由三相物質組成的碎散顆粒集合體，不是連續介質。
為此假設土體是連續體，從平均應力的概念出發，用一般材料力學的方法來定義土中的應力。
2、關於線彈性體問題
理想彈性體的應力與應變成正比直線關係，且應力卸除後變形可以完全恢復。
土體則是彈塑性物質，它的應力應變關係是呈非線性的和彈塑性的，且應力卸除後，應變也不能完全恢復。為此進行假設土的應變關係為直線，以便直接用彈性理論求土中的應力分布，但對沉降有特殊要求的建築物，這種假設誤差過大。
3、關於均質、等向問題
理想彈性體應是均質的各向同性體。
而天然地基往往是由成層土組成，為非均質各向異性體。
為此進行假設，天然地基作為均質的各向同性體。
二、地基中的幾種應力狀態
計算地基應力時，一般將地基當作半無限空間彈性體來考慮；即把地基看作是乙個具有水平介面、深度和廣度都無限大的空間彈性體。（見教材p66圖3－2）
常見的地基中的應力狀態有如下三種：
1、三維應力狀態
荷載作用下，地基中的應力狀態均屬三維應力狀態。每一點的應力都是x、y、z的函式，每一點的應力狀態都有9個應力分量。，寫成矩陣形式則為：
根據剪應力互等原理，有τxy=τyx,τyz=τzy,τxz=τzx，因此，該單元體只有6個應力分量，即σxx,σyy,σzz, τxy, τxz, τyz。
2、二維應變狀態（平面應變狀態）
二維應變狀態是指地基中的每一點應力分量只是兩個座標（x,z）的函式，因為天克地面可看作乙個平面，並且沿y方向的應變，由於對稱性，，這時，每一點的應力狀態有5個應力分量： 。應力矩陣可表示為：
3、側限應力狀態
側限應力狀態是指側向應變為零的一種應力狀態；土體只發生豎直向的變形。
由於任何豎直面都是對稱面，故在任何豎直面和水平面上都不會有剪應力存在，（圖3－5），即，應力矩陣為：
由，並與成正比。
三、土力學中應力符號的規定
在進行土中應力計算時：①應力符號的規定法則與彈性力學相同，但正負與彈性力學相反；即當某一截面上的外法線是沿著座標軸的正方向，這個截面稱正面；正面上的應力分量以沿座標軸正方向為負，沿負方向為正。②用摩爾圓進行應力狀態分析時，法向應力仍以壓應力為正，剪應力方向以逆時針方向為正。
（圖3－6）
第二節地基中的自重應力計算
在計算地基中的自重應力時，一般將地基作為半無限彈性體來考慮。由半無限彈性體的邊界條件可知，其內部任一與地面平行的平面或垂直的平面上，僅作用著豎向應力和水平向應力，而剪應力。
1、豎直自重應力
設地基中某單元體離地面的距離z，土的容重為，則單元體上豎直向自重應力等於單位面積上的土柱有效重量，即
3-1)
可見，土的豎向自重應力隨著深度直線增大，呈三角形分布。
注：（1）若計算點在地下水為以下，由於水對土體有浮力作用，則水下部分土柱的有效重量應採用土的浮容重或飽和容重計算；a：當位於地下水位以下的土為砂土時，土中水為自由水，計算時用。
b：當位於地下水位以下的土為堅硬粘土時，在飽和堅硬粘土中只含有結合水，計算自重應力時應採用飽和容重。c：
水下粘土，當ic≥1時，用。d：如果是介乎砂土和堅硬粘土之間的土，則要按具體情況分析選用適當的容重。
例如圖3－7（a）中的b點，其豎向自重應力為
（2）自重應力是由多層土組成，如圖3－7（a）（見教材p68），設各土層的厚度為h1、h2、……hn，相應的容重分別為，則地基中的第n層底面處的豎向自重應力為：
3－2）
2、水平向自重應力
在半無限體內，由側限條件可知，土不可能發生側向變形（），因此，該單元體上兩個水平向應力相等並按下式計算：
3－3）
式中k0——土的側壓力系，它是側限條件下土中水平向有效應力與豎直有效應力之比，可由試驗測定，，是土的泊松比。
第三節地基中的附加應力
在求解地基中的附加應力時，一般假定地基土是連續、均勻、各向同性的彈性體，然後根據彈性理論的基本公式進行計算。另外，按照問題的性質，將應力劃分為空間（三維）問題和平面問題兩大型別。矩形、圓形等基礎（l/b<10）下的附加應力計算即屬空間問題（其應力是x,y,z的函式）；條形基礎（l/b≥10）下的附加應力計算即屬於平面問題（其應力是x,,z的函式），壩、擋土牆等大多屬於條形基礎。
一、空間問題條件下的附加應力
（一）豎直集中力作用下的附加應力
如圖p71圖3－10所示，當半極限彈性體表面上作用著豎直集中力p時，彈性體內部任意點m的六個應力分量，由彈性理論求出的表示式為：
（3－6）
式中：——x,y,z方向的法向應力
——剪應力
——土的泊松比
r——m點至座標原點o的距離
——直角三角形om』m中與的夾角
上式為著名的布幸內斯克（boussinesq）解答，它是求解地基中附加應力的基本公式。
對於土力學來說，具有特別重要的意義，它是使地基土產生壓縮變形的原因。
由幾何關係：；（3－6a）可以寫為：
…………… （3－8）
式中：………… 豎直集中力作用下的豎向應力分布函式，它是的函式；可由圖3－11和表3－1中查得。
從式3－8可知
（1）在集中力作用線上（即），附加應力隨著深度z的增加而遞減（見教材p73圖3-12）；
（2）當離集中力作用線某一距離r時，（由3－6a可知）在地表處的附加應力＝0，隨著深度的增加，逐漸遞增，但到一定深度後，又隨著深度z的增加而減小（見教材p73圖3-12）。
（3）當z一定時，即在同一水平面上，附加應力隨著r的增大而減小（見教材p73圖3-12）。
注：如果的地面上有幾個集中力作用時（見教材p73圖3-14），則地基中任意點m處的附加應力可以利用式（3－8）分別求出各集中力對該點所引起的附加應力，然後進行疊加，即：
式中：分別為集中力作用下的豎向應力分布函式。
（二）矩形基底受豎直均布荷載作用時角點下的豎向附加應力
矩形基礎當底面受到豎直均布荷載（此處指均布壓力）作用時，基礎角點下任意點深度處的豎向附加應力，可以利用基本公式（3－8）沿著整個矩形面積進行積分求得。
p74如圖3－16，若設基礎面上作用著強度為p的豎直均布荷載，則微小面積dxdy上的作用力dp＝pdxdy可作為集中力來看待，於是，由該集中力在基礎角點o以下深度為z處的m點所引起的豎向附加應力為：
3－10）
將代入上式並沿整個基底面積積分，即可得到矩形基底豎直均布荷載對角點o以下深度為z處所引起的附加應力為：
=ksp3－11）
式中：——矩形基礎，底面受豎直區域性荷載作用時，焦點以下的豎直附加應力分
布係數， 可以從p75表3－2中查得
l：為基礎底面的長邊，b：為基礎底面的短邊，且l≥b。
注：①對於在基底範圍以內或以外任意點下的豎向附加應力，可利用式（3－11）並按疊加原理進行計算，這種方法稱之為「角點法」
②對矩形基底豎直均布荷載，在應用「角點法」時。l始終時基底長邊的長度，b為短邊的長度。
（三）矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點以下的豎向附加應力
矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時，把荷載強度為零的角點o作為座標原點，同樣可利用公式沿著整個面積積分來求得。如圖3－20所示（教材p79）。若矩形基底上三角形荷載的最大強度為，則微分面積dxdy上的作用力可作為集中力看待，於是角點o以下任意深度z處，由於該集中力所引起的豎向附加應力為：
將代入上式並沿整個底面積積分，即可得到矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時角點下的附加應力為：
3－15）
式中為矩形基底受豎直三角形分布荷載作用時的豎向附加應力分布係數，可查表3－3（教材p78），。
l：沿荷載變化方向矩形基底的長度，b：矩形基底另一邊的長度
對於基底範圍內（或外）任意點下的豎向附加應力，仍然可以利用「角點法」和疊加原理進行計算。
但任意兩點：（1）計算點應落在三角形分布荷載強度為零的一點垂線上。
2）b點始終指荷載變化方向矩形基底的長度。
（四）矩形基底受水平均布荷載作用時角點下的豎向附加應力
如圖3－21所示（教材p79），當矩形基底受到水平均布荷載作用時，角點下任意深度z處的豎直附加應力可以利用公式求得：
3－17）
式中：矩形基底受水平均布荷載作用時的豎向附加應力分布係數，可查表3－4（教材p80），。
b：平行於水平荷載作用方向的矩形基底的長度，l：矩形基底另一邊的長度。
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