給年輕數學工作者的建議
---michael atiyah
前言本文只是個人觀點, 基於我自己的個性, 經驗, 我所研究的數學以及我的工作風格. 然而不同數學家在性格, 特點方面差異很大,所以讀者要依靠自己的直覺. 你可以從別人那裡學習,但是你必須要以自己的方式來理解你所學到的東西.
從某個方面來講,創造力就是要掙脫以往實踐的束縛.
科研的動機
乙個研究型的數學工作者, 就像乙個具有創造性的藝術家, 必須要對於自己從事的工作充滿激情, 並全力以致. 沒有強烈的內在動力, 則很難有所成就. 如果你能夠享受數學, 那麼你從解決難題中獲得的滿足將是巨大的.
開始研究的第一年或者前兩年是最困難的, 因為有很多的東西要學. 當乙個人嘗試著去解決小問題而不斷的失敗時, 會對與自己是否有能力證明任何有意義的東西產生嚴重的懷疑.我自己在開始做研究的第二年也經歷了這樣的時期.
讓-皮埃爾.賽爾(jean-pierre serre)，可能是我們這一代傑出的數學家，曾告訴我他也曾在某個時期考慮放棄。
只有平庸的人才會對於自己的能力有無限的自信。你越優秀，則給自己設定的目標越高--因為你可以看到暫時無法到達的地方。
許多將要成為數學家的人對於其他的領域也有興趣，並且也具有天分。所以他們可能面對乙個很困難的抉擇：是否以數學為業？
據說偉大的高斯曾在數學和哲學之間猶豫不決，帕斯卡在很年輕的時候就為了神學而放棄了數學，而笛卡爾和萊布尼茲則即是傑出的數學家，同時又是著名哲學家。有些數學家轉行去研究物理學（如freeman dyson）, 而另一些人則反其道而行之（如harish chandra, raoul bott）。所以你不應將數學看成乙個隔絕的王國，數學同其他學科之間的相互影響無論對於個人還是社會都是有益的。
心理的層面
因為數學常常需要高強度集中的腦力活動，即使在事情進展順利的時候，對於心理上的壓力也是巨大的。取決於你的個性，這會是乙個輕微或者嚴重的問題。但你可以通過做某些事情來減少這些壓力。
如通過和自己的學生交流，參加講座，會議等，這些會開闊你的視野，並且為你提供重要的社交上的支援。過度的自我封閉和反省則是危險的，那些看似花在閒談上的時間則並不是真正的浪費。
問題和理論
數學家有時被劃分為『解決難題的人』和『理論家』這兩類。當然在數學界有這樣極端的例子來證明這些人確實存在（如erodos versus grothedieck），但絕大多數的數學家都介於這兩者之間的某個地方，他們的工作中既有要解決問題也要發展一些理論。實際上，乙個不能夠解決具體有意義問題的理論，是乙個不值得擁有的理論。
反而言之，任何深刻的問題都傾向於刺激與其解答相關理論的發展（費馬大定理就是乙個經典的例子）。這對於乙個剛開始科研的學生有什麼影響呢？雖然乙個人要靠讀書，看文獻來學習一般的概念和技巧（理論），但實際上學生最後必須把注意力集中在乙個或者幾個具體的問題上。
這將會給他提供一種體驗，並讓他判斷自己的勇氣。乙個具體明確的問題，當乙個人通過努力解決之並且完全的理解相關細節的時候，就會成為乙個無價的標尺，可以用來去檢測已有理論的功用和實力。取決於研究實際上的進行，最終的博士**可能是剝掉絕大多數的理論，只是集中到關鍵的問題上，或者**可能最後是描述問題所在的乙個廣泛的背景。
好奇心的作用好奇心是科研的驅動力。在什麼情況下乙個特殊的結論是正確的？這是不是最好的證明，或者另有更自然的，更優美的的證明？
結論成立的最一般的情況是什麼？如果你能在讀文獻或者聽報告的時候不斷的問自己這樣的問題，那麼遲早解答的曙光—–即那些可能的研究途徑，就會在你腦海中閃現。當這樣的情況出現在我的身上時，我總是給自己時間去追蹤這個想法，看他可以把我帶到**，是否經得住仔細的檢查。
十次有九次最後發現自己走到死胡同，但是偶爾也會發現金子。困難的是知道什麼情況下乙個開始看似很有前景的理論是不實際的。這時候，你必須盡快的結束並且回到原來的軌道上。
但常常這樣的決定不是清晰明確的，實際上我自己常常會撿起以前拋棄的理論，再給他們一次機會。有點諷刺意味的是，好的想法常常出其不意的在糟糕的會議或者報告之間產生。我經常發現自己去聽一些結論漂亮但證明卻醜陋複雜的報告。
不是去緊跟黑板上混亂的證明，我讓自己在餘下的時間裡去思考乙個優雅的證明。經常，但不是總是，不會成功，但即使是這樣我的時間也被很好的利用了，因為我已經努力的用自己的方式去思考了這個問題。這比被動的去接受另乙個人的推理要好的多。
策略(略去若干)
現在讓我們來談一下青年工作者最感興趣的話題：即要採取怎樣的策略？實際中怎樣才能發現乙個證明？
這樣抽象的問是沒有意義的。我在上一節說到，每乙個好的問題都會有緣起：它源於某種背景，有一定的根基。
要取得進展你必須要理解這些基礎。這就是為什麼最好是找你自己感興趣的問題，而不只是簡單的從你的導師那裡得到題目。如果你知道乙個問題的起源，為什麼提出這個問題，那麼你離解決這個問題的距離已經縮短一半了。
實際上，提出正確的問題往往和解決問題一樣困難，了解正確的背景是最基礎的第一步。
所以，簡單來講，你需要對於問題的歷史有很好的了解。你需要知道什麼樣的方法曾經用在類似的問題上，以及他們的侷限是什麼。
當你被乙個問題深深吸引的時候，最好及時的用心的去思考它。去了解乙個問題，沒有比實際的去嘗試這個問題更好的辦法。你應該去研究特例，盡力的弄清楚問題關鍵難點所在。
當你對於問題的背景和以前的方法有越多的了解的時候，你就可以嘗試更多的技術和技巧。但另一方面，忽略有些時候也是一種好處。據說 littlewood 讓他的每乙個學生開始的時候都去解決乙個經過偽裝的黎曼猜想，在他們工作六個月之後才告訴他們真相。
他解釋說如果學生在開始的時候就知道，那麼他們就沒有足夠的信心直接去嘗試乙個這麼著名的問題，但是當他們沒有被告知問題的聲望的時候，他們則有可能取得進展！這樣的策略也許不能夠解決黎曼猜想，但是它一定可以訓練出充滿活力和歷經磨練的學生。
我自己的方法是盡量的繞開正面的進攻去尋找間接的途徑。把你的問題和其他領域的技術以及想法連線起來也許會有未預見的啟發。如果這個策略奏效，它將會產生乙個簡單的美麗的證明，會『解釋』為什麼一些事情是正確的。
實際上，我相信對於解釋，理解的尋找才是我們真正的目標。證明只這個過程中乙個簡單的步驟，或則，有時候是結果。
在尋找新的方法的時候開拓你的眼界是非常有用的。和人們談論會延伸你的教育並且有時會帶給你新的想法和技術。你常常可能會得到對於你自己的研究富有成效的想法甚至乙個新的方向。
如果你需要了解乙個新的方向，去參考文獻當然是乙個很好的途徑，但是更好的是能夠從這個領域中找到乙個友好的專家，讓他來指導，這樣往往會使你更快並獲得更多對於這個領域的深刻見解。
當我們向前看的時候，對於新的發展保持警覺，但是也不能忘記過去。從前很多強大的數學結果被埋沒和遺忘了，只有在被獨立的重新發現之後才重見陽光。這些結果並不容易發現，部分是由於術語以及風格的變化，但是它們有可能是金礦。
就像通常對於金礦一樣，你要有足夠的運氣去發現乙個，而獎賞只給那些先行者。
風格在寫**的時候，導師通常會在表述和組織上給你指導。但對於你自己在數學上的發展，取得自己的風格是很重要的一部分。雖然不同的數學具體的需要可能不同，但在很多方面是一致的。
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