三角形的有關證明
1已知：ab=4，ac=2，d是bc中點，111749ad是整數，求ad
解：延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be＜ae＜ab+be
∵ab=4
即4-2＜2ad＜4+2
1＜ad＜3
∴ad=2
2已知：d是ab中點，∠acb=90°，求證：
延長cd與p，使d為cp中點。連線ap,bp
∵dp=dc,da=db
∴acbp為平行四邊形
又∠acb=90
∴平行四邊形acbp為矩形
∴ab=cp=1/2ab
3已知：bc=de，∠b=∠e，∠c=∠d，f是cd中點，求證：∠1=∠2
證明：連線bf和ef
∵ bc=ed,cf=df,∠bcf=∠edf
∴ 三角形bcf全等於三角形edf(邊角邊)
∴ bf=ef,∠cbf=∠def
連線be
在三角形bef中,bf=ef
∴ ∠ebf=∠bef。
∵ ∠abc=∠aed。
∴ ∠abe=∠aeb。
∴ ab=ae。
在三角形abf和三角形aef中
ab=ae,bf=ef,
∠abf=∠abe+∠ebf=∠aeb+∠bef=∠aef
∴ 三角形abf和三角形aef全等。
∴ ∠baf=∠eaf (∠1=∠2)。
4已知：∠1=∠2，cd=de，ef//ab，求證：ef=ac
過c作cg∥ef交ad的延長線於點g
cg∥ef，可得，∠efd＝cgd
de＝dc
∠fde＝∠gdc（對頂角）
∴△efd≌△cgd
ef＝cg
∠cgd＝∠efd
又，ef∥ab
∴，∠efd＝∠1
∠1=∠2
∴∠cgd＝∠2
∴△agc為等腰三角形，
ac＝cg
又 ef＝cg
∴ef＝ac
5已知：ad平分∠bac，ac=ab+bd，求證：∠b=2∠c
證明：延長ab取點e，使ae＝ac，連線de
∵ad平分∠bac
∴∠ead＝∠cad
∵ae＝ac，ad＝ad
∴△aed≌△acd （sas）
∴∠e＝∠c
∵ac＝ab+bd
∴ae＝ab+bd
∵ae＝ab+be
∴bd＝be
∴∠bde＝∠e
∵∠abc＝∠e+∠bde
∴∠abc＝2∠e
∴∠abc＝2∠c
6已知：ac平分∠bad，ce⊥ab，∠b+∠d=180°，求證：ae=ad+be
證明：在ae上取f，使ef＝eb，連線cf
∵ce⊥ab
∴∠ceb＝∠cef＝90°
∵eb＝ef，ce＝ce，
∴△ceb≌△cef
∴∠b＝∠cfe
∵∠b＋∠d＝180°，∠cfe＋∠cfa＝180°
∴∠d＝∠cfa
∵ac平分∠bad
∴∠dac＝∠fac
∵ac＝ac
∴△adc≌△afc（sas）
∴ad＝af
∴ae＝af＋fe＝ad＋be
7已知：ab=4，ac=2，d是bc中點，ad是整數，求ad
解：延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be＜ae＜ab+be
∵ab=4
即4-2＜2ad＜4+2
1＜ad＜3
∴ad=2
8已知：d是ab中點，∠acb=90°，求證：
解：延長ad到e,使ad=de
∵d是bc中點
∴bd=dc
在△acd和△bde中
ad=de
∠bde=∠adc
bd=dc
∴△acd≌△bde
∴ac=be=2
∵在△abe中
ab-be＜ae＜ab+be
∵ab=4
即4-2＜2ad＜4+2
1＜ad＜3
∴ad=2
9已知：bc=de，∠b=∠e，∠c=∠d，f是cd中點，求證：∠1=∠2
證明：連線bf和ef。
∵ bc=ed,cf=df,∠bcf=∠edf。
∴ 三角形bcf全等於三角形edf(邊角邊)。
∴ bf=ef,∠cbf=∠def。
連線be。
在三角形bef中,bf=ef。
∴ ∠ebf=∠bef。
又∵ ∠abc=∠aed。
∴ ∠abe=∠aeb。
∴ ab=ae。
在三角形abf和三角形aef中，
ab=ae,bf=ef,
∠abf=∠abe+∠ebf=∠aeb+∠bef=∠aef。
∴ 三角形abf和三角形aef全等。
∴ ∠baf=∠eaf (∠1=∠2)。
10已知：∠1=∠2，cd=de，ef//ab，求證：ef=ac
過c作cg∥ef交ad的延長線於點g
cg∥ef，可得，∠efd＝cgd
de＝dc
∠fde＝∠gdc（對頂角）
∴△efd≌△cgd
ef＝cg
∠cgd＝∠efd
又ef∥ab
∴∠efd＝∠1
∠1=∠2
∴∠cgd＝∠2
∴△agc為等腰三角形，
ac＝cg
又 ef＝cg
∴ef＝ac
11已知：ad平分∠bac，ac=ab+bd，求證：∠b=2∠c
證明：延長ab取點e，使ae＝ac，連線de
∵ad平分∠bac
∴∠ead＝∠cad
∵ae＝ac，ad＝ad
∴△aed≌△acd （sas）
∴∠e＝∠c
∵ac＝ab+bd
∴ae＝ab+bd
∵ae＝ab+be
∴bd＝be
∴∠bde＝∠e
∵∠abc＝∠e+∠bde
∴∠abc＝2∠e
∴∠abc＝2∠c
12. 如圖，四邊形abcd中，ab∥dc，be、ce分別平分∠abc、∠bcd，且點e在ad上。求證：bc=ab+dc。
在bc上擷取bf=ab，連線ef
∵be平分∠abc
∴∠abe=∠fbe
又∵be=be
∴⊿abe≌⊿fbe（sas）
∴∠a=∠bfe
∵ab//cd
∴∠a+∠d=180
∵∠bfe+∠cfe=180
∴∠d=∠cfe
又∵∠dce=∠fce
ce平分∠bcd
ce=ce
∴⊿dce≌⊿fce（aas）
∴cd=cf
∴bc=bf+cf=ab+cd
13.已知：ab//ed，∠eab=∠bde，af=cd，ef=bc，求證：∠f=∠c
ab‖ed，得：∠eab+∠aed=∠bde+∠abd=180度，
∵∠eab=∠bde，
∴∠aed=∠abd，
∴四邊形abde是平行四邊形。
∴得：ae=bd，
∵af=cd,ef=bc，
∴三角形aef全等於三角形dbc，
∴∠f=∠c。
14 已知：ab=cd，∠a=∠d，求證：∠b=∠c
證明：設線段ab,cd所在的直線交於e，（當adbc時，e點是射線ab,dc的交點）。則：
△aed是等腰三角形。
∴ae=de
而ab=cd
∴be=ce (等量加等量，或等量減等量）
∴△bec是等腰三角形
∴∠b=∠c.
15 p是∠bac平分線ad上一點，ac>ab，求證：pc-pb在ac上取點e，
使ae＝ab。
∵ae＝ab
ap＝ap
∠eap＝∠bae，
∴△eap≌△bap
∴pe＝pb。
pc＜ec＋pe
∴pc＜（ac－ae）＋pb
∴pc－pb＜ac－ab。
16 已知∠abc=3∠c，∠1=∠2，be⊥ae，求證：ac-ab=2be
證明：在ac上取一點d，使得角dbc=角c
∵∠abc=3∠c
∴∠abd=∠abc-∠dbc=3∠c-∠c=2∠c；
∵∠adb=∠c+∠dbc=2∠c;
∴ab=ad
∴ac – ab =ac-ad=cd=bd
在等腰三角形abd中，ae是角bad的角平分線，
∴ae垂直bd
∵be⊥ae
∴點e一定在直線bd上，
在等腰三角形abd中，ab=ad，ae垂直bd
∴點e也是bd的中點
∴bd=2be
∵bd=cd=ac-ab
∴ac-ab=2be
17 已知，e是ab中點，af=bd，bd=5，ac=7，求dc
∵作ag∥bd交de延長線於g
∴age全等bde
∴ag=bd=5
∴agf∽cdf
af=ag=5
∴dc=cf=2
18．如圖，在△abc中，bd=dc，∠1=∠2，求證：ad⊥bc．
解：延長ad至bc於點e,
∵bd=dc ∴△bdc是等腰三角形
∴∠dbc=∠dcb
又∵∠1=∠2 ∴∠dbc+∠1=∠dcb+∠2
即∠abc=∠acb
∴△abc是等腰三角形
∴ab=ac
在△abd和△acd中
｛ab=ac
∠1=∠2
bd=dc
∴△abd和△acd是全等三角形（邊角邊）
∴∠bad=∠cad
∴ae是△abc的中垂線
∴ae⊥bc
∴ad⊥bc
19．如圖，om平分∠poq，ma⊥op,mb⊥oq，a、b為垂足，ab交om於點n．
求證：∠oab=∠oba
證明：∵om平分∠poq
∴∠pom＝∠qom
∵ma⊥op，mb⊥oq
∴∠mao＝∠mbo＝90
∵om＝om
∴△aom≌△bom （aas）
∴oa＝ob
∵on＝on
∴△aon≌△bon （sas）
∴∠oab=∠oba，∠ona=∠onb
∵∠ona+∠onb＝180
∴∠ona＝∠onb＝90
∴om⊥ab
20．（5分）如圖，已知ad∥bc，∠pab的平分線與∠cba的平分線相交於e，ce的連線交ap於d．求證：ad+bc=ab．
做be的延長線，與ap相交於f點，
∵pa//bc
∴∠pab+∠cba=180°，又∵，ae，be均為∠pab和∠cba的角平分線
∴∠eab+∠eba=90°∴∠aeb=90°，eab為直角三角形
在三角形abf中，ae⊥bf，且ae為∠fab的角平分線
∴三角形fab為等腰三角形，ab=af,be=ef
在三角形def與三角形bec中，
∠ebc=∠dfe,且be=ef，∠def=∠ceb，
∴三角形def與三角形bec為全等三角形，∴df=bc
∴ab=af=ad+df=ad+bc
21．如圖，△abc中，ad是∠cab的平分線，且ab=ac+cd，求證：∠c=2∠b
延長ac到e
使ae=ac 連線 ed
∵ ab=ac+cd
∴ cd=ce
可得∠b=∠e
△cde為等腰
∠acb=2∠b
22．（6分）如圖①，e、f分別為線段ac上的兩個動點，且de⊥ac於e，bf⊥ac於f，若ab=cd，af=ce，bd交ac於點m．
（1）求證：mb=md，me=mf
（2）當e、f兩點移動到如圖②的位置時，其餘條件不變，上述結論能否成立？若成立請給予證明；若不成立請說明理由．
（1）連線be，df．
∵de⊥ac於e，bf⊥ac於f，
∴∠dec=∠bfa=90°，de∥bf，
在rt△dec和rt△bfa中，
∵af=ce，ab=cd，
∴rt△dec≌rt△bfa（hl），
∴de=bf．
∴四邊形bedf是平行四邊形．
∴mb=md，me=mf；
（2）連線be，df．
∵de⊥ac於e，bf⊥ac於f，
∴∠dec=∠bfa=90°，de∥bf，
在rt△dec和rt△bfa中，
∵af=ce，ab=cd，
∴rt△dec≌rt△bfa（hl），
∴de=bf．
∴四邊形bedf是平行四邊形．
∴mb=md，me=mf．
全等三角形證明經典50題含答案
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全等三角形證明經典50題答案
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