一、 2k-h(ngw)型行星齒輪減速器的優化設計
圖1.1 2k-h型行星輪系機構簡圖
1- 中心輪 2-行星輪 3-殼體
圖1.1 為2k-h型行星輪系機構簡圖。已知：
作用於中心輪的轉矩t1＝1140n·m，傳動比u＝4．64，齒輪材料均為38simnmo，表面淬火45—55hrc，行星輪個數c=3,要求以重量最輕為目標，對其進行優化設計。
1、目標函式和設計變數的確定
行星齒輪減速器的重量可取太陽輪和c個行星輪重量之和來代替，因此目標函式可簡化為：
式中： — 中心輪1的齒數；
m — 模數，單位為(mm)；
b — 齒寬，單位為(mm)；
c — 行星輪2的個數；
u — 輪系的傳動比。
影響目標函式的獨立引數應列為設計變數，即
在通常情況下，行星輪個數可以根據機構型別事先選定，這樣，設計變數為：
目標函式為：
2．約束條件的建立
1）小齒輪不根切，得：
2）限制齒寬最小值，得：
3）限制模數最小值，得：
4）限制齒寬係數b/m的範圍：，得：
5）滿足接觸強度要求，得：
式中： — 許用接觸應力。
6）滿足彎曲強度要求，得：
式中：、— 齒輪的齒形係數和應力校正係數；
— 許用彎曲應力。
二、螺栓組聯接的優化設計
圖2.1
如圖2.1所示壓力容器，已知：內部氣體壓強p=12n/mm2，容器內徑d1=500mm，螺栓中心圓直徑d=640mm，e=h=20mm，用襯墊密封。
試解出該螺栓組聯接的最佳方案。
1．目標函式和設計變數
在大批量生產壓力容器時，以螺栓總成本最小作為追求的設計目標很有意義，一台壓力容器的螺栓總成本wn取決於螺栓的個數n和單價w，即
wn=nw
經市場調查，螺栓單價w與其直徑d、長度、材料及加工狀況有關。當螺栓材料、長度和加工長度一定時，螺栓單價可看作其直徑的線性函式
w=c1d-c2
圖2.2
例如，現選擇一常用的35號鋼，長為50mm的六角頭半精製螺栓，其單價如圖2.2所示，用線性回歸法可得方程
於是，可對這種螺栓組寫出如下目標函式
f(x)=n(0.0205d-0.1518)
顯然，可取設計變數為
x=[x1，x2]t=[d，n]t
則目標函式
f(x)= x2 (0.0205 x1-0.1518)
2．約束函式
設計壓力容器螺栓組時，螺栓數量的確定既要考慮密封性要求，又要兼顧裝拆工具的工作空間。而螺栓直徑應保證必要的強度，又要使容器凸絛外徑尺寸d0不致過大（圖1）。綜合考慮這些要求，可確立下列約束函式：
1）緊密性條件為保證螺栓間的密封壓力均勻，且防止區域性漏氣，據經驗，螺栓間的周向距離不應大於10d，即
d/n≤10d
由此得約束函式
g1(x)=10 x1－πd/ x2≥0
2) 扳手工作空間的限制為保證裝拆螺栓聯接的工藝性，應有足夠的扳手迴轉空間，即螺檢栓間的間隔不應小於5d，即
d/n≥5d
則約束函式
g2(x)= πd/ x2－5 x1≥0
3）強度條件由機械零件設計手冊，可查出類似材料的螺栓在不同直徑時無預先鎖緊工況的螺栓許用載荷，利用這些資料，用回歸分析法可求得許用載荷的指數回歸方程
f]=7.06302d2.11354
為保證壓力容器在額定壓強p下安全工作，螺栓總許用載荷n[f]應至少等於容器蓋所受總壓力，即
n[f]－α≥0
式中 α=1.1 － 安全餘量係數
因而約束函式
g3(x)= 7.06302 x2 x12.11354 － 0.86394p≥0
三、普通圓柱螺旋彈簧的優化設計
試優化設計一氣門類壓簧，材料為50crva鋼絲，工作載荷f=680n，最大變形λ＝16．59mm, 工作頻率fr=25hz，迴圈工作次數n＝106。結構上要求：2．5≤d≤9．5 mm，30 mm≤d2≤60 mm，n≥3，c≥6，p0=47n／mm。
查得[τ]＝405 n／mm2，剛度相對誤差δ取0.01。按重量最輕優化．
1．目標函式和設計變數
普通螺旋圓柱彈簧包括拉簧、壓簧和扭簧。在優化設計時，可以重量最輕、體積最小、高度最小等分別作為追求目標建立單目標函式，也可以組成多目標函式。
1）重量最輕
式中：－彈簧材料的比重；
—壓簧支承圈數；
d2 ——彈簧中徑；
—簧絲直徑；
n —工作圈數。
2）體積最小
3) 高度最小
由上述3式知，目標函式是d、和n的函式，因此，可取設計變數
x=[x1，x2，x3]t=[d，，n]t
為簡化計算，略去某些常數部分，可將上述3式改寫為：
2．約束函式
1）彈簧旋繞比c=3～6=/d，約束函式為
2）彈簧剛度約束要求彈簧設計剛度與要求剛度p0的相對誤差小於給定值δ
約束函式為
式中：g—彈簧材料的剪下彈性模量
3）強度條件壓簧的扭轉剪應力τ不得超出許用應力[τ]
式中：f2—壓簧的最大工作載荷；
k—曲度係數，當載荷作用次數在103以下時，k=1+0.5/c，否則，取k=1.6/(d2/d)0.14。
約束函式為
4）穩定性條件在無導桿或導套的情況下，為保證壓簧在f2作用下不失穩，應滿足
h0/d2≤bm=2.62/μ0
式中：h0—壓簧自由高度
h0=（n+n0－0.5）d+1.1λ
式中： λ — 彈簧的最大變形量，λ=f2/p0，p0=（f2－f1）/h
h — 彈簧工作行程
0 — 彈簧端部係數，兩端固定μ0=0.5，一端固定一端迴轉μ0=0.7，兩端迴轉μ0=1
約束函式為
g4(x)=2.62/μ0－h0/x2
5）無共振條件為防止共振，對於氣門類彈簧，應使其自振頻率f遠大於其工作頻率fr，一般f≥10fr；而對於減振彈簧則相反，取f≤0.5 fr。自振頻率
因此，約束函式為
或 6）最小二作圈數nmin限制即n≥nmin，約束函式為
7）其他界限約束如中徑在許用範圍內，則有
彈簧直徑在允許範圍內，有
四、軸的優化設計
圖4.1
如圖4.1所示，設主軸外徑為d，兩支承跨距為,伸出端長度為a，主軸的軸端受力p=15000n，內徑d＝30mm，≥300mm，60mm≤d≤140 mm，a≥90 mm。試按體積最小設計該軸，並使其端部撓度y≤0.
005cm。
1．目標函式及設計變數
目標函式為
其中，主軸內徑d主要決定於棒料直徑，因此可作為常量處理。故目標函式是決定主軸剛度和強度的三個引數d、和a的函式，可取設計變數
x=[x1，x2，x3]t=[，，a]t
這樣，目標函式就可寫成
2．約束條件
工具機加工質量在很大程度上取決於主軸的剛皮。因此，要求主軸伸出端的撓度不超過給定的靜變形，即y≤y0。據此，可建立主軸靜剛度約束條件
1）根據材料力學的莫爾積分公式，撓度
式中 m和m0—作用在端點c處的外力p和單位力所引起的彎矩；
l——主軸全長；
e和j——主軸的彈性模量和截面慣性矩。
故主軸由鋼材製造，e＝2.1×105kg/cm2，將這些引數和數值
代入式(1)，得
此外。三個設計引數、d和a的邊界約束條件為
寫成設計變數形式，則可得約束函式式如下：
五、曲柄搖桿機構再現己知運動規律的優化設計
圖5.1 曲柄搖桿機構簡圖
設計一曲柄搖桿機構，如圖5.1所示，當曲柄由其極限角轉至時，實現搖桿的輸出角與曲柄轉角之間的如下函式關係：
1）並要求機構的傳動角（連桿與從動件之間的夾角）的最小值和最大值應分別不小於和不大於其許用值，即
1設計變數的確定
決定機構尺寸的各桿長度，以及當搖桿按已知運動規律開始運動時，曲柄所處的位置角應列為設計變數，即
由於機構桿長按比例變化時不會改變主、從動件的運動規律，因此常取曲柄為單位長度，即=1，其餘桿長則表示為的倍數，若取曲柄的初始位置角為極位角，則及相應的搖桿位置角均為桿長的函式，其關係式為
因此，獨立變數只有、、，則設計變數為
2．目標函式的建立
目標函式可根據已知的運動規律與機構實際運動規律之間的偏差最小為指標來建立，為此，把曲柄在從至的區間分成s等分，從動件輸出角也有相應的分點與之對應，分點標號記作為i，以各分點輸出角的偏差平方總和作為目標函式，故有
式中：——期望輸出角，它是當曲柄輸人角時由式（1）確定的搖桿輸出角。；
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