中國海洋大學 2009-2010學年秋季學期期末考試試卷
數學科學學院 《線性代數基礎》課程試題(a卷) 共 3 頁第 1 頁
數學科學學院 《線性代數基礎》課程試題(a卷) 共3 頁第 2 頁
中國海洋大學 2009-2010學年秋季學期期末考試試卷
數學科學學院 《線性代數基礎》 課程試題(a卷) 共 3 頁第 3 頁
2009-2023年秋季學期線性代數a答案
一、1.；2. 1；3. ；.
二、三、1. 0， 2. 利用範德蒙行列式 .
3.由得即得兩邊乘以得
所以，由，得，
故，4.解.設由到的過渡矩陣是，到
的過渡矩陣是，到
的過渡矩陣是，
而，所以；
，即.由基到的過渡矩陣.
四、（8分）證明：設存在使得，整理的，
，若則可由線性表示，所以就是的解與是非齊次線性方程組的乙個解矛盾，故，因此，；
因為是對應的齊次線性方程組的乙個基礎解系，所以，即得，所以命題成立.
五、（12分）當、b取何值時，下列線性方程組無解、有無窮多解？有解時，求其解．
解：對增廣矩陣b進行變換：
可見，當或時，該方程組無解。
當時，該方程組有無窮解，並有
亦即 ,
六、（14分）設二次型（）其中矩陣的特徵值之和為1，特徵值之積為-9.
（1）求的值；
（2）特徵值和特徵向量
（3）利用正交變換法將二次型化為標準型，並寫出正交矩陣.
解：（1）因為得
（2）特徵多項式為
得的特徵值為,和. 因為特徵值不同，則特徵向量兩兩正交.
只需單位化.
對於，由，即，
得該方程組的基礎解系為 ，
的所有的特徵向量為
將單位化得。
對於，由，即，得該方程組的基礎解系為，
的所有的特徵向量為
將單位化得；
對於，由，即，得該方程組的基礎解系為，
的所有的特徵向量為
將單位化得；
（3）取正交矩陣 ，
則 .令，則
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