數學競賽選修課
第一講數論選講
（清華附中創新班） 2015.3
1．有只籃子中各裝有一些李子、桃子和蘋果．每個籃子中的李子個數恰好是其他籃子中的桃子個數的總和，每個籃子中的桃子個數恰好是其他籃子中的蘋果個數的總和，求證：這些水果的總數是的倍數．
2．(1) 若正整數n滿足，求n的所有可能值
(2) n是大於30的自然數，且，那麼n的所有可能值有哪些？
(3) n是大於1的自然數，且，那麼n的所有可能值有哪些？
(4) n是大於1的自然數，且，那麼n的所有可能值有哪些？
3．用2010除以a得到的商和餘數相同，試寫出的所有可能取值．
4．數列a：1，3，9，27，81，…… 數列b：1，3，6，10，15，……當n取1到2013時，有多少個n的值使得這兩個數列的前n項和除以7的餘數相同．
5．乙個自然數的平方除以1001的餘數有多少種？其中最大的是？
6．(1) 若乙個自然數共有6個約數，並且這6個約數的乘積在1000到5000之間，求這個自然數．
(2) 若n的約數從大到小排列的第3個是66，求n．
7．兩個正整數的和是667，最小公倍數是最大公約數的120倍，求這兩個正整數．
8．設p、q是任意兩個大於100的質數，那麼和的最大公約數是最小是多少？
9．已知，求證不是有理數．
10．設是大於5的質數，並且也是質數，求證是合數．
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