高中高一數學必修1各章知識點總結
第一章集合與函式概念
一、集合有關概念
1、集合的含義：某些指定的物件集在一起就成為乙個集合，其中每乙個物件叫元素。
2、集合的中元素的三個特性：
1.元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性
說明：(1)對於乙個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何乙個物件或者是或者不是這個給定的集合的元素。
(2)任何乙個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的物件，相同的物件歸入乙個集合時，僅算乙個元素。
(3)集合中的元素是平等的，沒有先後順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。
(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。
3、集合的表示： 如，
1. 用拉丁字母表示集合：a=,b=
2．集合的表示方法：列舉法與描述法。
非負整數集（即自然數集）記作：n
正整數集 n*或 n+ 整數集z 有理數集q 實數集r
關於「屬於」的概念
集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a ，相反，a不屬於集合a 記作 a?a
列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。
描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。用確定的條件表示某些物件是否屬於這個集合的方法。
①語言描述法：例：
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
4、集合的分類：
1．有限集含有有限個元素的集合
2．無限集含有無限個元素的集合
3．空集不含任何元素的集合例： b= 「元素相同」
結論：對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b
① 任何乙個集合是它本身的子集。aía
②真子集:如果aíb,且a1 b那就說集合a是集合b的真子集，記作a b(或b a)
③如果 aíb, bíc ,那麼 aíc
④ 如果aíb 同時 bía 那麼a=b
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的運算
1．交集的定義：一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．
記作a∩b(讀作」a交b」)，即a∩b=．
2、並集的定義：一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。記作：a∪b(讀作」a並b」)，即a∪b=．
3、交集與並集的性質：a∩a = a, a∩φ= φ, a∩b = b∩a，a∪a = a,
a∪φ= a ,a∪b = b∪a.
4、全集與補集
（1）補集：設s是乙個集合，a是s的乙個子集（即 ），由s中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做s中子集a的補集（或餘集）
（2）全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
（3）性質：⑴cu(c ua)=a ⑵(c ua)∩a=φ ⑶(cua)∪a=u
第二章基本初等函式
一、指數函式
（一）指數與指數冪的運算
1．根式的概念：一般地，如果，那麼叫做的次方根（n th root），其中》1，且∈*．
當是奇數時，正數的次方根是乙個正數，負數的次方根是乙個負數．此時，的次方根用符號表示．式子叫做根式（radical），這裡叫做根指數（radical exponent），叫做被開方數（radicand）．
當是偶數時，正數的次方根有兩個，這兩個數互為相反數．此時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號－表示．正的次方根與負的次方根可以合併成±（>0）．由此可得：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。
注意：當是奇數時，，當是偶數時，
2．分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
， 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
指出：規定了分數指數冪的意義後，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數，那麼整數指數冪的運算性質也同樣可以推廣到有理數指數冪．
3．實數指數冪的運算性質
（1）·；（2）；
（3）．
（二）指數函式及其性質
1、指數函式的概念：一般地，函式叫做指數函式（exponential function），其中x是自變數，函式的定義域為r．
注意：指數函式的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1．
2、指數函式的圖象和性質
注意：利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；
（3）對於指數函式，總有；
（4）當時，若，則；
二、對數函式
（一）對數
1．對數的概念：一般地，如果，那麼數叫做以為底的對數，記作：（— 底數，— 真數，— 對數式）
說明： 注意底數的限制，且；
；注意對數的書寫格式．
兩個重要對數：
常用對數：以10為底的對數；
自然對數：以無理數為底的對數的對數．
對數式與指數式的互化
對數式指數式
對數底數冪底數
對數指數
真數冪（二）對數的運算性質
如果，且，，，那麼：（1）·＋；（2）－；（3） ．
注意：換底公式（，且；，且；）．
利用換底公式推導下面的結論（1）；（2）．
（二）對數函式
1、對數函式的概念：函式，且叫做對數函式，其中是自變數，函式的定義域是（0，+∞）．
注意： 對數函式的定義與指數函式類似，都是形式定義，注意辨別。
如：， 都不是對數函式，而只能稱其為對數型函式．
對數函式對底數的限制：，且．
2、對數函式的性質：
（三）冪函式
1、冪函式定義：一般地，形如的函式稱為冪函式，其中為常數．
2、冪函式性質歸納．
（1）所有的冪函式在（0，+∞）都有定義，並且圖象都過點（1，1）；
（2）時，冪函式的圖象通過原點，並且在區間上是增函式．特別地，當時，冪函式的圖象下凸；當時，冪函式的圖象上凸；
（3）時，冪函式的圖象在區間上是減函式．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨於時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
第三章函式的應用
一、方程的根與函式的零點
1、函式零點的概念：對於函式，把使成立的實數叫做函式的零點。
2、函式零點的意義：函式的零點就是方程實數根，亦即函式的圖象與軸交點的橫座標。即：
方程有實數根函式的圖象與軸有交點函式有零點．
3、函式零點的求法：
求函式的零點：
（代數法）求方程的實數根；
（幾何法）對於不能用求根公式的方程，可以將它與函式的圖象聯絡起來，並利用函式的性質找出零點．
4、二次函式的零點：
二次函式．
１）△＞０，方程有兩不等實根，二次函式的圖象與軸有兩個交點，二次函式有兩個零點．
２）△＝０，方程有兩相等實根（二重根），二次函式的圖象與軸有乙個交點，二次函式有乙個二重零點或二階零點．
３）△＜０，方程無實根，二次函式的圖象與軸無交點，二次函式無零點．
函式附：
一、函式的定義域的常用求法：
1、分式的分母不等於零；2、偶次方根的被開方數大於等於零；3、對數的真數大於零；4、指數函式和對數函式的底數大於零且不等於1；5、三角函式正切函式中；餘切函式中；6、如果函式是由實際意義確定的解析式，應依據自變數的實際意義確定其取值範圍。
二、函式的解析式的常用求法：
1、定義法；2、換元法；3、待定係數法；4、函式方程法；5、引數法；6、配方法
三、函式的值域的常用求法：
1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調性法；7、直接法
四、函式的最值的常用求法：
1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調性法
五、函式單調性的常用結論：
1、若均為某區間上的增（減）函式，則在這個區間上也為增（減）函式
2、若為增（減）函式，則為減（增）函式
3、若與的單調性相同，則是增函式；若與的單調性不同，則是減函式。
4、奇函式在對稱區間上的單調性相同，偶函式在對稱區間上的單調性相反。
5、常用函式的單調性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函式圖象。
六、函式奇偶性的常用結論：
1、如果乙個奇函式在處有定義，則，如果乙個函式既是奇函式又是偶函式，則（反之不成立）
2、兩個奇（偶）函式之和（差）為奇（偶）函式；之積（商）為偶函式。
3、乙個奇函式與乙個偶函式的積（商）為奇函式。
4、兩個函式和復合而成的函式，只要其中有乙個是偶函式，那麼該復合函式就是偶函式；當兩個函式都是奇函式時，該復合函式是奇函式。
5、若函式的定義域關於原點對稱，則可以表示為，該式的特點是：右端為乙個奇函式和乙個偶函式的和。
高一數學必修一知識點和檢測題 含答案
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