旋轉只改變圖形的位置,而不改變圖形的大小和形狀,通過這樣的變換可以將題目中的條件相對集中,從而使條件與待求結論之間的關係明朗化,有利於問題的解決。旋轉一般用於等腰三角形、正三角形、正方形和正多邊形的圖形中,選好旋轉中心和旋轉角是關鍵。現舉例說明妙用旋轉來巧解問題。
例1 如圖(1)所示,p為正三角形abc內的一點,∠apb=109°,∠apc=137°,試說明以ap、bp、cp為邊是否能構成乙個三角形?若能請說明理由,並求出所構成三角形各個內角的度數。
圖(1)
分析:以點b為中心將△apb圍繞點
b順時針旋轉60°,那麼問題就可以迎刃而解。
解:以點b為中心將△apb圍繞點b順時針旋轉60°,得到如圖(1)所示的圖形,p點的對應點是d點,a點的對應點是c點,並連線pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°
∴△bpd是等邊三角形
∴dp=bp
∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp為三邊構成的三角形.
即以ap、bp、cp為邊能構成乙個三角形.
∵△bpd是等邊三角形
∴∠bdp=∠bpd=60°
∵∠bdc=∠apb=109°
∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°
又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°
∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°
∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°
評析:本題是利用旋轉構造乙個以三邊為長度的三角形,而不是利用三邊的關係來說明三角形的構成的常用方法。
例2 如圖(2)所示,p為正方形內任一點,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度數.
圖(2)
分析:將△abp繞點b順時針旋轉90°得△cbe,連線pe,把已知條件集中到△pce中,促使問題方便解決。
解:把△abp繞點b順時針旋轉90°得△cbe,連線pe,則△cbe≌△abp.
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