實驗1：系統響應及系統穩定性
1.實驗目的
（1）掌握求系統響應的方法。
（2）掌握時域離散系統的時域特性。
（3）分析、觀察及檢驗系統的穩定性。
2.實驗原理與方法
在時域中，描寫系統特性的方法是差分方程和單位脈衝響應，在頻域可以用系統函式描述系統特性。已知輸入訊號可以由差分方程、單位脈衝響應或系統函式求出系統對於該輸入訊號的響應，本實驗僅在時域求解。在計算機上適合用遞推法求差分方程的解，最簡單的方法是採用matlab語言的工具箱函式filter函式。
也可以用matlab語言的工具箱函式conv函式計算輸入訊號和系統的單位脈衝響應的線性卷積，求出系統的響應。
系統的時域特性指的是系統的線性時不變性質、因果性和穩定性。重點分析實驗系統的穩定性，包括觀察系統的暫態響應和穩定響應。
系統的穩定性是指對任意有界的輸入訊號，系統都能得到有界的系統響應。或者系統的單位脈衝響應滿足絕對可和的條件。系統的穩定性由其差分方程的係數決定。
實際中檢查系統是否穩定，不可能檢查系統對所有有界的輸入訊號，輸出是否都是有界輸出，或者檢查系統的單位脈衝響應滿足絕對可和的條件。可行的方法是在系統的輸入端加入單位階躍序列，如果系統的輸出趨近乙個常數（包括零），就可以斷定系統是穩定的[19]。系統的穩態輸出是指當時，系統的輸出。
如果系統穩定，訊號加入系統後，系統輸出的開始一段稱為暫態效應，隨n的加大，幅度趨於穩定，達到穩態輸出。
注意在以下實驗中均假設系統的初始狀態為零。
3．實驗內容及步驟
（1）編制程式，包括產生輸入訊號、單位脈衝響應序列的子程式，用filter函式或conv函式求解系統輸出響應的主程式。程式中要有繪製訊號波形的功能。
（2）給定乙個低通濾波器的差分方程為
輸入訊號
a) 分別求出系統對和的響應序列，並畫出其波形。
b) 求出系統的單位衝響應，畫出其波形。
（3）給定系統的單位脈衝響應為
用線性卷積法分別求系統h1(n)和h2(n)對的輸出響應，並畫出波形。
（4）給定一諧振器的差分方程為
令，諧振器的諧振頻率為0.4rad。
a) 用實驗方法檢查系統是否穩定。輸入訊號為時，畫出系統輸出波形。
b) 給定輸入訊號為
求出系統的輸出響應，並畫出其波形。
實驗程式清單
%實驗1：系統響應及系統穩定性
close all;clear all
%*****=內容1：呼叫filter解差分方程，由系統對u(n)的響應判斷穩定性*****=
a=[1,-0.9];b=[0.05,0.05]; %系統差分方程係數向量b和a
x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1,50)]; %產生訊號x1(n)=r8(n)
x2n=ones(1,128); %產生訊號x2(n)=u(n)
hn=impz(b,a,58); %求系統單位脈衝響應h(n)
subplot(2,2,1);y='h(n)';tstem(hn,y); %呼叫函式tstem繪圖
title('(a) 系統單位脈衝響應h(n)');box on
y1n=filter(b,a,x1n); %求系統對x1(n)的響應y1(n)
subplot(2,2,2);y='y1(n)';tstem(y1n,y);
title('(b) 系統對r8(n)的響應y1(n)');box on
y2n=filter(b,a,x2n); %求系統對x2(n)的響應y2(n)
subplot(2,2,4);y='y2(n)';tstem(y2n,y);
title('(c) 系統對u(n)的響應y2(n)');box on
%===內容2：呼叫conv函式計算卷積
x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]; %產生訊號x1(n)=r8(n)
h1n=[ones(1,10) zeros(1,10)];
h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1,10)];
y21n=conv(h1n,x1n);
y22n=conv(h2n,x1n);
figure(2)
subplot(2,2,1);y='h1(n)';tstem(h1n,y); %呼叫函式tstem繪圖
title('(d) 系統單位脈衝響應h1(n)');box on
subplot(2,2,2);y='y21(n)';tstem(y21n,y);
title('(e) h1(n)與r8(n)的卷積y21(n)');box on
subplot(2,2,3);y='h2(n)';tstem(h2n,y); %呼叫函式tstem繪圖
title('(f) 系統單位脈衝響應h2(n)');box on
subplot(2,2,4);y='y22(n)';tstem(y22n,y);
title('(g) h2(n)與r8(n)的卷積y22(n)');box on
內容3：諧振器分析
un=ones(1,256); %產生訊號u(n)
n=0:255;
xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n); %產生正弦訊號
a=[1,-1.8237,0.9801];b=[1/100.49,0,-1/100.49]; %系統差分方程係數向量b和a
y31n=filter(b,a,un); %諧振器對u(n)的響應y31(n)
y32n=filter(b,a,xsin); %諧振器對u(n)的響應y31(n)
figure(3)
subplot(2,1,1);y='y31(n)';tstem(y31n,y);
title('(h) 諧振器對u(n)的響應y31(n)');box on
subplot(2,1,2);y='y32(n)';tstem(y32n,y);
title('(i) 諧振器對正弦訊號的響應y32(n)');box on
實驗程式執行結果及分析
程式執行結果如圖10.1.1所示。
實驗內容（2）系統的單位衝響應、系統對和的響應序列分別如圖(a)、(b)和(c)所示；
實驗內容（3）系統h1(n)和h2(n)對的輸出響應分別如圖(e)和(g)所示；
實驗內容（4）系統對和的響應序列分別如圖(h)和(i)所示。由圖(h)可見，系統對的響應逐漸衰減到零，所以系統穩定。由圖(i)可見，系統對的穩態響應近似為正弦序列，這一結論驗證了該系統的諧振頻率是0.
4 rad。
圖10.1.1
簡答思考題
(1) 如果輸入訊號為無限長序列，系統的單位脈衝響應是有限長序列，可否用線性卷積法求系統的響應。①對輸入訊號序列分段；②求單位脈衝響應h(n)與各段的卷積；③將各段卷積結果相加。具體實現方法有第三章介紹的重疊相加法和重疊保留法。
（2）如果訊號經過低通濾波器，把訊號的高頻分量濾掉，時域訊號的劇烈變化將被平滑，由實驗內容（1）結果圖10.1.1(a)、(b)和(c)可見，經過系統低通濾波使輸入訊號、和的階躍變化變得緩慢上公升與下降。
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