浙江大學控制系自動控制原理近年考研題分章集錦（六）
（第七章:狀態空間方法）
2023年
9、（15分）簡單計算題，直接計算出結果即可。（每小題5分)
(2)．已知系統狀態空間表示式為；，求使閉環極點為-1、-2的狀態反饋陣k。
(3)．已知受控系統的係數矩陣為：，,。要求：採用期望極點均為－10的2維狀態重構實現狀態反饋。
解：（3）
，則觀測器的方程為：
（2）因為系統的能控性判斷矩陣：，顯見。系統不完全能控，故沒有乙個狀態反饋陣k能滿足要求使閉環極點為-1、-2。
11、（10分）請寫出如圖所示電路當開關合上後的系統狀態方程與輸出方程。其中狀態如圖示，設系統的輸出變數是i2。若電路圖中所有元件的引數均為1，請判斷系統的可控性與可觀性。
解：（1）狀態方程：
（2）可控性與可觀性，按已知條件，所有的元件引數均為1，代入方程可以計算得到：系統是可控與可觀的。因為
13．（20分）設被控物件具有如圖所示的傳遞函式。要求：通過狀態反饋後，系統閉環階躍響應的效能指標為：
最大峰值為，調節時間為，且對階躍輸入r0具有零穩態偏差。假設狀態的選取如圖示，請求出：系統的開環放大係數a，以及狀態反饋增益陣k。
（提示：；，並假設其中乙個閉環極點為－100）
解：step1：因為要求閉環以後的階躍響應，故首先求出在有狀態反饋情況下的閉環傳遞函式。由上圖，得閉環方塊圖如下（由開環傳遞函式無零極點相消情況，故系統是可控的）
由圖可求得閉環傳遞函式：
step2：因為要求當階躍輸入為r0時具有零穩態偏差，即當t→∞時，e(t)=y(t)- r0→0。
因此利用終值定理得
step3：因為是三階系統，假設其具有一對由所要求的閉環效能指標決定的複數主極點
（1） 由於要求最大峰值為，可得
要求調節時間為,
（3）一對複數主極點：；又已知另一遠極點為－100，故期望的閉環傳遞函式：
該期望方程應該與前閉環傳遞函式（＊＊）相同，而為了達到零穩態偏差，前面已經求出。因而有：
所以：系統的開環放大係數a＝10，以及狀態反饋增益陣k＝[1, -3.393, 4.77]。
2023年
七．（5分/150分）某系統的傳遞函式是， 問：若要求系統為完全能控能觀，應如何選擇b ？
解： 只要b不等於1，2，3，則系統是完全能控能觀的。
八．（10分/150分）請列寫出如下圖所示的訊號流圖的狀態空間表示式。
解： 狀態空間表示式：
其中：；
；（注：圖及答案均可參見教材＜周春暉＞p60-61或其他相關參考書。
然，必須注意的是：原教材上的推導在輸出部分有誤。因為按圖是m=n的情況，而教材上的推導卻是按m十一、（15分/150分）已知某系統通過狀態反饋（）後，獲得其期望的閉環極點：
＝－1，－1，－3。請寫出原系統的能控標準形的a、b陣。
解： 原系統的能控標準形：，
十三、（10分/150分）已知系統的狀態空間表示式：，，試設計觀測器，使其極點為: -1.8+j2.4, -1.8-j2.4。
解：(1) 判別可觀性：；系統可觀
（2）即觀測器：l= [29.6 3.6]
2023年
三、（10分/150分）已知系統的狀態轉移矩陣為
，請求出、a。
解：根據狀態轉移矩陣的運算性質有
a＝＝解：
3）分解後的子系統的狀態方程
可控子系統：
不可控子系統：
十、（15分/150分）若系統的傳遞函式為 ， 試求使閉環系統的傳遞函式為的狀態反饋增益矩陣k。
解：因為狀態反饋具有不改變零點的結論，欲消去s＝－1的零點，其閉環系統的傳遞函式中必有s＝－1的極點。因此，其狀態反饋閉環系統的傳遞函式為：
則題目要求應是：求反饋增益矩陣k，使閉環極點為：＝－1，－1，－3。
2023年
六．（10分/70分）系統傳遞函式為，試設計狀態反饋，使系統的
解：1）
2）根據題目要求，求出主導極點
按要求驗算：
七．（10分/70分）系統的狀態空間表示式為：
試將系統變換成能控標準型。
解：1）判能觀
2023年
6．(10分/70分) 系統的狀態空間模型為；試就系統的可控性展開討論，若系統不完全能控，則對狀態空間進行分解。
解：因為
1）.2).取
7．(10分/70分) 已知系統；；試設計全維狀態觀測器,希望觀測器極點為－10和－1。
解：step1 判可觀性
step2 構造全維狀態觀測器
2023年
6．(10分/70分) 設控制系統的傳遞函式為：，試確定狀態反饋陣,使閉環系統的極點為。
解：1）原系統
顯然系統是完全可控的，且其開環特徵方程序
，則：即狀態反饋陣kc為
7．(10分/70分) 已知系統的狀態變數表示式為
試確定乙個狀態觀測器，其極點均為－10。
解： step1，判能觀性
系統完全可觀
step3，構造全維觀測器
觀測器的特徵方程：
2023年
五、(20分/70分) （1）已知線性定常系統的狀態方程為
要求：用狀態反饋方法，使閉環極點配置在，。
（2）已知線性定常系統的狀態方程為
要求：設計狀態觀測器，其極點為－3，－4，－5。
解：先判能控性與能觀性
（2）求解狀態觀測器
構造全維觀測器
閉環觀測器的特徵方程：
比較期望觀測器的特徵方程與閉環觀測器的特徵方程的同次冪係數,得
解之：2023年
五、(20分/60分) 已知線性定常系統的狀態變數表示式為
若狀態變數無法測得，指定觀測器的極點－50，－50。試設計狀態觀測器，進行極點配置（狀態反饋），使原系統的，。
解：（1）參見2023年第四題。
（2）利用分離原理獨立地設計狀態觀測器的反饋增益矩陣l, 期望的特徵多項式：
求得2023年
六、(10分/60分) 受控系統的傳遞函式為 ，試用狀態反饋方法使極點配置在－2，－1＋j，－1－j，畫出結構圖。
解：（1）因為系統沒有零極點相消現象，故系統完全能控能觀。寫出能控標準型：
；設狀態反饋陣為：
計算狀態反饋陣
（2）畫出結構圖如下。
（可參見＜自動控制原理試題精選與答題技巧＞（王彤，哈爾濱工業大學出版社）一書p223例9－17）
七、(10分/60分) 已知線性定常系統的狀態方程如下，試設計全維觀測器，極點為－2，－3，－2＋j,－2－j.
（1） 解：驗證能觀性：
可計算得到狀態觀測器h：
2023年
一．（2）(7分/60分) 連續時間系統，試求離散時間狀態方程。（取樣週期 t＝1秒，狀態方程取能控標準i型）
解：連續時間狀態方程取能控標準i型，即：
需求的離散時間狀態方程可表達為下列形式：
其中：代入取樣週期t＝1秒：
四、(14分/60分) 設計帶觀測器的狀態反饋系統。原系統傳遞函式，
（1） 設計狀態反饋，使閉環系統的，；
（2） 若原系統的狀態均不可測，設計觀測器的極點為－10，－10。
解：（1）設計狀態反饋控制器：
①判定受控系統的能控性：因無零極點相消，故系統完全可控，可設計狀態反饋控制器
系統開環特徵多項式為：
②根據題目要求，確定期望特徵多項式
則：③計算狀態反饋陣
（2）設計狀態觀測器
特別提醒：因為（1）是按能控標準形求出的k，此時，故觀測器設計也應在此a下設計（同一基底下的空間表示式下――這點很易錯為直接採用可觀形設計，而不顧及前面的狀態方程了）。
①判定受控系統的能觀性：因無零極點相消，故系統完全可觀
②確定系統期望觀測器的特徵方程
③確定狀態反饋矩陣k
狀態觀測器的閉環特徵多項式：
2023年
四、(20分/60分) 已知
其狀態不能直接測量，要求：
（1）用狀態反饋，使系統的極點配置在－10，－10；
（2）設計極點配置在－10，－10的全維狀態觀測器；
（3）畫出相應的結構圖。
解：（1）設計狀態反饋控制器：
①判定受控系統的能控性：
②確定閉環系統期望特徵多項式
③確定狀態反饋矩陣k，
6－k1＝20； k2－6k1＝100
故：k=[k1 k2]＝[－14 16]（若先化成能控標準形，再求k，答案是一致的！）
（2）設計全維狀態觀測器：
①判定受控系統的能觀性：
；系統完全可觀，可以設計狀態觀測器
②（3） 相應的狀態結構圖如下。
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