統一入學測驗
數學考科試題分析
(a)(工科適用)
工科考題偏重幾何方面，而第11題算是較靈活的題目，但只要考生能了解數學的基本概念，進而靈活運用透徹了解，並能搭配圖形來思考解題，那得高分並非難事。而我們的教材正是以此為中心架構進行編寫，著眼於學生基本觀念的建立，訓練學生能獨立思考、靈活應用的能力。
此次四技二專統一入學測驗數學考科試題題型的分布，請參見下表。而其出題的情形如下：(1)直線方程式：
5題；(2)三角函式：4題；(3)向量：3題；(4)多項式：
2題；（5）複數：2題；(6)指、對數：2題；(7)圓、橢圓、拋物線：
3題；(8)微積分：4題。
1.用去除，得到的余式為何？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(a)
【概念分析】： 分離係數法：降冪排列，缺項補0。
【詳解】：利用分離係數法
故余式為
2.下列何者為的因式？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(d)
【概念分析】：因式定理：為f (x)因式
【詳解】：設
由因式定理得知
為f (x) 的因式
3.座標平面上兩點p(1 , 3) 和q(2 , 5) 的直線距離為何？ (a) (b) (c)3 (d)5。
【答案】：(b)
【概念分析】： 兩點間的距離公式：a(x1, y1), b(x2, y2)
【詳解】：利用兩點間的距離公式
4.試求？ (a) (b)1 (c)3 (d)9。
【答案】：(a)
【概念分析】： 指數定律：(am)n = amn, am an = am+n, an =
【詳解】：
5.試求？ (a)1 (b)3 (c)5 (d)15。
【答案】：(a)
【概念分析】： 對數運算公式：
【詳解】：
6.已知，則？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(d)
【概念分析】：
【詳解】：
7.設與為兩向量，, x, y為實數，且，，則與之內積的最大值為何？ (a) (b) (c)13 (d)65。
【答案】：(c)
【概念分析】：
【詳解】：∵
的最大值為13
8.已知圓過點(4 , 0)、(4 , 0)、(0 , 3)，若此圓半徑為r，則r =？ (a)4 (b) (c)5 (d)。
【答案】：(b)
【概念分析】： 圓的一般式：
【詳解】：設圓方程式為
過(4,0)，∴16 + 4d + f = 0 (1)
過(4,0)，∴16 4d + f = 0 (2)
過(0,3)，∴9 + 3e + f = 0 (3)
由(1) + (2)得f = 16，(1) (2)得d = 0
代入(3)得
故9.設函式的圖形為過 (0,0) 與 (1,1) 兩點之直線，函式的圖形為過 (1,1) 與 (3,0) 兩點之直線，若，則在x = 1的導數？ (a)1 (b)0.
5 (c)0.5 (d)1。
【答案】：(c)
【概念分析】： 利用兩點式，求直線方程式
過二點(x1, y1), (x2, y2)之直線l為
【詳解】：過 (0,0), (1,1) 的直線為，
故過 (1,1), (3,0) 的直線為
得，故故10.已知，且a、b為實數，若，則a + b =？ (a)3 (b)1 (c)1 (d)3。
【答案】：(a)
【概念分析】：
【詳解】：
故11.已知△abc三頂點為a(1,3)、b(2,1)、c(3,1)，若直線平分△abc的面積，則直線之方程式為何？ (a)3x + y = 0 (b)3x y + 6 = 0 (c)6x y + 9 = 0 (d)6x + y + 3 = 0。
【答案】：(d)
【概念分析】： 直線方程式即過a及中點m二點的方程式
【詳解】：直線即(m為中點)
即過a(1,3), m(,0)二點的直線：
為所求12.平面上曲線y = x2與直線y = 1所圍成區域的面積為何？ (a) (b) (c)1 (d)。
【答案】：(d)
【概念分析】： 作圖，並求曲線與直線交點。
【詳解】：
故面積13.下列各等式何者恒為正確？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(a)
【概念分析】：
【詳解】：(a)
b) c)
d) 故(a)正確
14.已知平面上三點a(1, 3)、b(3, k)、c(5, 1)，若向量與垂直，則k =？ (a)1 (b)3 (c)5 (d)7。
【答案】：(d)
【概念分析】：
【詳解】：
得k = 7
15.△abc三內角、、之對應邊長分別為a、b、c，若, b = 2,，則c =？ (a) (b)2 (c)3 (d)。
【答案】：(b)
【概念分析】： 當一邊及一對角已知時，利用正弦定理
【詳解】：∵，已知一邊一對角
故利用正弦定理
或150
但 ∴
180 120 30 = 30,
16.座標平面上以a(8,0)、b(,)、c(0,0)三點為頂點的△abc中，的度量為何？ (a)30 (b)45 (c)60 (d)120。
【答案】：(c)
【概念分析】：
【詳解】：
由內積得
17.座標平面上一矩形的四個頂點分別在原點、x軸正向、y軸正向及直線x + 2y = 6上，當此矩形有最大面積時，其周長為何？ (a)8 (b)9 (c)10 (d)11。
【答案】：(b)
【概念分析】： 利用引數式，假設直線上任一動點
【詳解】：令直線上任一動點，引數式為p(6 2t , t)
矩形面積
當時，矩形面積最大
周長18.已知，若，試求？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(a)
【概念分析】：
【詳解】：
19.已知，則？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(b)
【概念分析】： 棣美弗定理：
【詳解】：
利用棣美弗定理知，
20.若x、y均為實數，且則 (x, y) 恆滿足下列那乙個方程式？ (a) (b) (c) (d)。
【答案】：(c)
【概念分析】： 橢圓定義找出中心o(h , k)，長軸y = k，短軸x = h及a, b，其方程式為
【詳解】：依橢圓定義知
故p(x, y), f(1, 1), f(7, 1), 2a = 10
o(4,1), 長軸y = 1，短軸x = 4, a = 5,
2c = 6 c = 3，故
方程式為
21.試求定積分？ (a)1 (b)2 (c)3 (d)4。
【答案】：(a)
【概念分析】：(1)利用變數變換積分法化簡積分型
2)上下限的值隨之改變。
【詳解】：利用變數變換法，令
22.已知點a(5,6) 在拋物線上，則點a與此拋物線之焦點的距離為何？ (a)2 (b)3 (c)4 (d)5。
【答案】：(d)
【概念分析】： 拋物線
其焦點f(h , k + c)
【詳解】：
得頂點 (1, 2)，軸x = 1, c = 1
故焦點f(1 , 2+1) = (1, 3)，又a(5, 6)
23.已知直線l過點 (1, 5)，且垂直於直線，則l與x軸的交點座標為何？ (a)(,0) (b)(,0) (c)(,0) (d)(,0)。
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