高中必修一一些重點
函式值域求法十一種 2
復合函式 9
一、復合函式的概念 9
二、求復合函式的定義域： 9
復合函式單調性相關定理 10
函式奇偶性的判定方法 10
指數函式： 12
冪函式的影象與性質 15
1. 直接觀察法
對於一些比較簡單的函式，其值域可通過觀察得到。
例1. 求函式的值域。
解：∵∴
顯然函式的值域是：
例2. 求函式的值域。
解：∵故函式的值域是：
2. 配方法
配方法是求二次函式值域最基本的方法之一。
例3. 求函式的值域。
解：將函式配方得：
∵由二次函式的性質可知：當x=1時，，當時，
故函式的值域是：[4，8]
3. 判別式法
例4. 求函式的值域。
解：原函式化為關於x的一元二次方程
（1）當時，
解得：（2）當y=1時，，而
故函式的值域為
例5. 求函式的值域。
解：兩邊平方整理得：（1）∵∴
解得：但此時的函式的定義域由，得
由，僅保證關於x的方程：在實數集r有實根，而不能確保其實根在區間[0，2]上，即不能確保方程（1）有實根，由求出的範圍可能比y的實際範圍大，故不能確定此函式的值域為。
可以採取如下方法進一步確定原函式的值域。
∵代入方程（1）
解得：即當時，
原函式的值域為：
注：由判別式法來判斷函式的值域時，若原函式的定義域不是實數集時，應綜合函式的定義域，將擴大的部分剔除。
4. 反函式法
直接求函式的值域困難時，可以通過求其原函式的定義域來確定原函式的值域。
例6. 求函式值域。
解：由原函式式可得：
則其反函式為：，其定義域為：
故所求函式的值域為：
5. 函式有界性法
直接求函式的值域困難時，可以利用已學過函式的有界性，反客為主來確定函式的值域。
例7. 求函式的值域。
解：由原函式式可得：∵∴
解得：故所求函式的值域為
例8. 求函式的值域。
解：由原函式式可得：，可化為：即∵
∴即解得：故函式的值域為
6. 函式單調性法
例9. 求函式的值域。
解：令則在[2，10]上都是增函式
所以在[2，10]上是增函式
當x=2時，
當x=10時，
故所求函式的值域為：
例10. 求函式的值域。
解：原函式可化為：
令，顯然在上為無上界的增函式
所以，在上也為無上界的增函式
所以當x=1時，有最小值，原函式有最大值
顯然，故原函式的值域為
7. 換元法
通過簡單的換元把乙個函式變為簡單函式，其題型特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型，換元法是數學方法中幾種最主要方法之一，在求函式的值域中同樣發揮作用。
例11. 求函式的值域。
解：令，則∵
又，由二次函式的性質可知
當時，當時，
故函式的值域為
例12. 求函式的值域。
解：因即
故可令∴
∵故所求函式的值域為
例13. 求函式的值域。
解：原函式可變形為：
可令，則有
當時，當時，
而此時有意義。
故所求函式的值域為
例14. 求函式，的值域。
解：令，則由且
可得：∴當時，，當時，
故所求函式的值域為。
例15. 求函式的值域。
解：由，可得
故可令∵
當時，當時，
故所求函式的值域為：
8. 數形結合法
其題型是函式解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式直線斜率等等，這類題目若運用數形結合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。
例16. 求函式的值域。
解：原函式可化簡得：
上式可以看成數軸上點p（x）到定點a（2），間的距離之和。
由上圖可知，當點p**段ab上時，
當點p**段ab的延長線或反向延長線上時，
故所求函式的值域為：
例17. 求函式的值域。
解：原函式可變形為：
上式可看成x軸上的點到兩定點的距離之和，
由圖可知當點p為線段與x軸的交點時，，
故所求函式的值域為
例18. 求函式的值域。
解：將函式變形為：
上式可看成定點a（3，2）到點p（x，0）的距離與定點到點的距離之差。
即：由圖可知：（1）當點p在x軸上且不是直線ab與x軸的交點時，如點，則構成，根據三角形兩邊之差小於第三邊，有
即：（2）當點p恰好為直線ab與x軸的交點時，有
綜上所述，可知函式的值域為：
注：由例17，18可知，求兩距離之和時，要將函式式變形，使a、b兩點在x軸的兩側，而求兩距離之差時，則要使a，b兩點在x軸的同側。
如：例17的a，b兩點座標分別為：（3，2），，在x軸的同側；例18的a，b兩點座標分別為（3，2），，在x軸的同側。
9. 不等式法
利用基本不等式，求函式的最值，其題型特徵解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時需要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。
例19. 求函式的值域。
解：原函式變形為：
當且僅當
即當時，等號成立
故原函式的值域為：
例20. 求函式的值域。
解：當且僅當，即當時，等號成立。
由可得：
故原函式的值域為：
10. 一一對映法
原理：因為在定義域上x與y是一一對應的。故兩個變數中，若知道乙個變數範圍，就可以求另乙個變數範圍。
例21. 求函式的值域。
解：∵定義域為
由得故或
解得故函式的值域為
11. 多種方法綜合運用
例22. 求函式的值域。
解：令，則
（1）當時，，當且僅當t=1，即時取等號，所以
（2）當t=0時，y=0。
綜上所述，函式的值域為：
注：先換元，後用不等式法
例23. 求函式的值域。
解：令，則
∴當時，
當時，此時都存在，故函式的值域為
注：此題先用換元法，後用配方法，然後再運用的有界性。
總之，在具體求某個函式的值域時，首先要仔細、認真觀察其題型特徵，然後再選擇恰當的方法，一般優先考慮直接法，函式單調性法和基本不等式法，然後才考慮用其他各種特殊方法。
如果y是u的函式，而u是x的函式，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那麼y關於x的函式y = f [g ( x ) ]叫做函式f 與 g 的復合函式，u 叫做中間變數。
注意：復合函式並不是一類新的函式，它只是反映某些函式在結構方面的某種特點，因此，根據復合函式結構，將它折成幾個簡單的函式時，應從外到裡一層一層地拆，注意不要漏層。
另外，在研究有關復合函式的問題時，要注意復合函式的存在條件，即當且僅當g ( x )的值域與f ( u )的定義域的交集非空時，它們的復合函式才有意義，否則這樣的復合函式不存在。
例：f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u2 , u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u2 與g ( x ) = x + 1 兩個函式復合而成。
（1）若f(x)的定義域為a ≤ x ≤ b,則f [ g ( x ) ] 中的a ≤ g ( x ) ≤ b ，從中解得x的範圍，即為f [g ( x )]的定義域。
例1、y = f ( x ) 的定義域為[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定義域。
答案： [-1/2 ，0 ]
例2、已知f ( x )的定義域為（0，1），求f ( x 2)的定義域。
答案： [-1 ，1]
（2）若f [ g ( x ) ]的定義域為（m , n）則由m < x < n 確定出g ( x )的範圍即為f ( x )的定義域。
例3、已知函式f ( 2x + 1 )的定義域為（0，1），求f ( x ) 的定義域。
答案： [ 1 ，3]
（3）由f [ g ( x ) ] 的定義域，求得f ( x )的定義域後，再求f [ h ( x ) ]的定義域。
例4、已知f ( x + 1 )的定義域為[-2 ，3],求f ( 2x 2 – 2 ) 的定義域。
答案：[-√3/2 ，-√3]∪[√3/2 ，√3]
三、求復合函式的解析式。
1、待定係數法：在已知函式解析式的構造時，可用待定係數法。
例1 設是一次函式，且，求
解：設 ，則
2、 配湊法：已知復合函式的表示式，求的解析式，的表示式容易配成的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函式的定義域不是原復合函式的定義域，而是的值域。
例2 已知 ，求的解析式
解：，3、換元法：已知復合函式的表示式時，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。
例3 已知，求
解：令，則，
1、引理1 已知函式y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是增函式，其值域為(c，d)，又函式y=f(u)在區間(c,d)上是增函式，那麼，原復合函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式
證明在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因為u=g(x)在區間(a,b)上是增函式，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因為函式y=f(u)在區間(c,d)上是增函式，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，
故函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
2、引理2 已知函式y=f［g(x)］.若u=g(x)在區間(a,b)上是減函式，其值域為(c，d)，又函式y=f(u)在區間(c,d)上是減函式，那麼，復合函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
證明在區間(a,b)內任取兩個數x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.
因為函式u=g(x)在區間(a,b)上是減函式，所以g(x1)＞g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).因為函式y=f(u)在區間(c,d)上是減函式，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函式y=f［g(x)］在區間(a,b)上是增函式.
高一歷史必修一重點總結
第十五課辛亥革命 三民主義的主要內容，中華 臨時約法 的主要內容及原則，辛亥革命的歷史意義。第十六課五四愛國運動 五四運動的起因，導火線，口號 運動的階段 領導力量的轉變 五四運動的歷史意義。第五單元馬克思主義的產生，發展與中國新民主主義革命 第十八課馬克思主義的誕生 歐洲工人階級登上歷史舞台的標誌...
高中必修一重點句子翻譯 人教版
必修一重點文言句子 翻譯下列句子 左傳 1.若捨鄭以為東道主，行李之往來，共其乏睏，君亦無所害 2.夫晉，何厭之有？3.既東封鄭 又欲肆其西封，若不闕秦，將焉取之？4.微夫人之力不及此。5.因人之力而敝之，不仁 失其所與，不知 以亂易整不武。吾其還也。荊軻刺秦王 6.微太子言，臣願得謁之，今行而無信...
初一重點語法
一般現在時 一般現在時態中，動詞一般用原形。表述事實講真理，習慣動作常發生。動詞詞尾加 s es 隻錶單數三人稱。若變一般疑問句，得看句型是哪種。係表結構和there be,be放句首可完成 若遇實義動詞句，do或does莫忘用！如把does加在前，動詞就要還原形。現在進行時 look,listen...