曲線運動萬有引力定律
考點14 運動的合成與分解平拋運動
在考試說明中平拋運動屬ⅱ要求，運動的合成和分解屬i要求，而曲線運動中質點的速度沿軌跡的切線方向，且必具有加速度為i要求.
1.曲線運動
⑴特點：做曲線運動的質點，在某一點瞬時速度的方向，就是通過該點的曲線的切線方向.質點在曲線運動中的速度方向時刻在改變，所以曲線運動一定是變速運動，但是變速運動不一定是曲線運動.
如勻變速直線運動.
⑵物體做曲線運動的條件：從動力學角度看，如果物體所受合外力方向跟物體的速度方向不在同一條直線上，物體就做曲線運動.從運動學角度看，就是加速度方向與速度方向不在同一直線上.
①如果這個合外力大小和方向都是恆定的.即所受的力為恒力，物體就做勻變速曲線運動，如平拋運動.
②如果這個合外力大小恆定，方向始終與速度垂直，物體就做勻速圓周運動，勻速圓周運動並非是勻速運動，即勻速圓周運動是非平衡的運動狀態.
⑶曲線運動的軌跡：做曲線運動的物體其軌跡向合外力所指一方彎曲，若已知物體的運動軌跡，可判斷出物體所受合外力的大致方向.如平拋運動的軌跡向下彎曲，圓周運動的軌跡總向圓心彎曲等.
⑷合運動軌跡的判斷
兩直線運動的合運動的性質和軌跡由各分運動的性質即合初速度與合加速度的方向關係決定：
①兩個勻速直線運動的合運動仍是勻速直線運動.
②乙個勻速直線運動和乙個勻變速直線運動的合運動仍是勻變速運動.二者共線時為勻變速直線運動，如豎直上拋運動或豎直下拋運動；二者不共線時勻變速曲線運動，如平拋運動.
③兩個勻變速直線運動的合運動仍為勻變速運動，當合初速度與合加速度共線時為勻變速直線運動；當合初速度與合加速度不共線時為勻變速曲線運動.
2.運動的合成與分解
⑴合運動與分運動的關係
①等時性：合運動和分運動經歷的時間相等.即同時開始，同時進行，同時停止.
②獨立性：乙個物體同時參與幾個分運動，各分運動獨立進行，不受其他分運動的影響.
③等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的效果.
⑵運動的合成與分解的方法
①運動的合成與分解：包括位移、速度、加速度的合成和分解.它們與力的合成和分解一樣都遵守平行四邊形定則，由已知的分運動求跟它們等效的合運動叫做運動的合成，由已知的合運動求跟它等效的分運動叫做運動的分解，合運動和分運動具有等時性.
研究運動合成和分解，目的在於把一些複雜的運動簡化為比較簡單的直線運動，這樣就可以應用已經掌握的有關直線運動的規律，來研究一些複雜的曲線運動.
②運動合成的基本方法.
a．兩個分運動必須是同一質點在同一時間內相對於同一參考係的運動.
b．兩個分運動在同一直線上時，向量運算轉化為代數運算.先選定一正方向，凡與正方向相同的取正，相反取負，合運動為各分運動的代數和.例如：
豎直上拋運動可以看成是豎直方向勻速運動和自由落體運動的合運動，即先取向上為正，則有：
vt=v0-gt
s=v0t-gt2/2
c．不在同一直線上，按照平行四邊形法則合成，如圖a-4-14-1所示
d．兩分運動垂直或正交分解後的合成
③運動分解的基本方法.
根據運動的實際效果將描述合運動規律的各物理量(位移、速度、加速度)按平行四邊形定則分別分解，或進行正交分解.
注意：只有實際運動，才是供分解的「合運動」
說明：小船過河問題的分析與求解方法
⑴處理方法：小船在有一定流速的河中過河時，實際上參與了兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水沖船的運動)和船相對水的運動(即在靜水中的船的運動)，船的實際運動是合運動.
⑵若小船要垂直於河岸過河，過河路徑最短，應將船頭偏向上游，如圖a-4-14-2甲所示，此時過河時間t=d/v合=d/v1·sinθ
⑶若使小船過河的時間最短，應使船頭正對河岸行駛，如圖a-4-14-2乙所示，此時過河時間t=d/v1(d為河寬).
3.平拋運動
⑴定義：將一物體水平丟擲，物體只在重力作用下的運動
性質：加速度為g的勻變速曲線運動，運動過程中水平速度不變，只是豎直速度不斷增大，合速度大小、方向時刻改變.
⑵平拋運動的研究方法
將平拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，分別研究兩個分運動的規律，必要時再用運動合成方法進行合成.在實際做題時，如題中明確告訴了速度(位移)方向，就分別將速度(位移)分解.
⑶平拋運動的規律設平拋運動的初速度為ν，建立座標系如圖a-4-14-3所示
①速度：vx=v0，
vy=gt
合速度的大小：
v=方向:
tanθ=vy/vx=gt/v0
②位移：x=vt，
y=gt2/2
方向:tanα=y/x=gt/2v0(注意：合位移與合速度方向不同)
③時間：由y=gt2 /2得t= (t由下落高度y決定)
④軌跡方程：y=gx2/2 .(在未知時間情況下應用方便)
⑤可獨立研究豎直方向運動：豎直方向為初速度為零的勻變速運動a=g.
a．連續相等時間內豎直位移之比為
l：3：5：…：(2n-1)(n=l，2，3，…)
b．連續相等時間內豎直位移之差△y=gt2
⑥平拋運動是勻變速曲線運動，故相等時間內速度變化量相等，且必沿豎直方向如圖a-4-14-4所示.
任意兩時刻的速度與速度變化量△v構成直角三角形.△v沿豎直方向.
注意：平拋運動的速率隨時間並不均勻變化.速度隨時間是均勻變化的.
曲線運動的性質單獨考查較少，常與平拋運動、類平拋、圓周運動結合在一起.平拋運動是典型的勻變速曲線運動.其運動規律是高考中的熱點；在2023年上海高考中曾出現過2次，要掌握處理平拋運動的思路、方法、並會遷移討論類平拋運動問題.
【例1】如圖a-4-14-5所示，物體在恒力f作用下沿曲線從a運動到b，這時突然使它所受的力反向而大小不變(即由f變為-f)，在此力作用下，物體以後的運動情況，下列說法正確的是（ ）
a．物體可能沿曲線ba運動
b．物體可能沿曲線bb運動
c．物體可能沿曲線bc運動
d．物體可能沿原曲線由b返回a
【解析】物體在a點時的速度沿a點的切線方向，物體在恒力f作用下沿曲線ab運動，此力f必有垂直於va的分量，即f力只可能為圖a-4-14-6中所示的各種方向之一；當物體到達b點時，瞬時速度vb沿b的切線方向，這時受力f/=-f，即f/只可能為圖中所示的方向之一；可知物體以後只可能沿曲線bc運動.
【例2】如圖a-4-14-7所示，物體作平拋運動的軌跡，在任一點p(x，y)的速度方向的反向延長線交於x軸上的點a，則oa的長為多少?
【解析】設經時間t到達點p，物體作曲線運動，某點的速度方向沿該點切線方向作過點p的切線交x軸於點a，過p作x，y軸的垂線，垂足分別為b、c，由幾何圖形知ab=y·cotθ
而y=gt2/2，tanθ=vy/vx=gt/v0
∴ab=gt2/2×v0/gt=v0t/2=x/2
∴oa=x-ab=x/2.
【例3】如圖a-4-14-8所示，水平屋頂高h=5m，牆高h=3.2m，牆到房子的距離l=3 m，牆外馬路寬s=10m，小球從房頂水平飛出落在牆外的馬路上，求小球離開屋頂時的速度。
(取g=10m/s2)
【解析】設球剛好越過牆時，此時球水平初速度為v1，則h-h=gt12/2.
∴t1=
l=v1t1
得v1=5m/s
設球越過牆剛好落在馬路右邊，此時球水平速度為v2，則h=gt22/2.
∴t2=
l+s=v2t2得v2=13m/s
∴小球離開屋頂時的速度5m/s≤v≤13m/s
【例4】關於互成角度的兩個初速不為零的勻變速直線運動的合運動，下述說法正確的是( )
a．一定是直線運動
b．一定是曲線運動
c．可能是直線運動，也可能是曲線運動
d．以上都不對
【解析】兩個運動的初速度合成、加速度合成如上圖a-4-14-9所示，當a和v重合時，物體做直線運動，由於題目未給出兩個運動的a和v的具體數值，所以以上兩種情況都有可能。
【例5】一條寬度為l的小河，水流速度為v水已知船在靜水中的速度為v船，那麼：
⑴怎樣渡河時間最短?
⑵若v船》v水，怎樣渡河位移最小?
⑶若v船【解析】⑴如圖a-4-14-10所示，設船頭斜向上游與河岸成任意角θ，這時船速在垂直於河岸方向的速度分量為v1=v船sinθ，渡河所需的時間為l/v1=l/v船sinθ
可以看出：l、v船一定時，t隨sinθ增大而減小；當θ=900時，sinθ=l(最大)，所以船頭與河岸垂直時渡河時間最短tmin=l/v船
⑵如圖a-4-14-11所示，渡河的最小位移即河的寬度.為了使渡河位移等於l，必須使船的合速度方向與河岸垂直.這時船頭應指向河的上游，並與河岸成一定的角度θ，根據三角函式關係有
v船cosθ=v水
cosθ=v水 /v船，
θ=arccos v水 /v船，
因為0≤cosθ≤1，所以只有在v船＞v水時，船才有可能垂直河岸橫渡.
⑶如果水流速度v水大於船在靜水中的航行速度v船，則不論船的航向如何，總是被水衝向下游。
怎樣才能使漂下的距離最短呢?如圖a-4-14-12所示，設船頭v船與河岸成θ角，此時合速度v合與河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂下的距離x越短。
那麼，在什麼條件下α角最大呢？以v水的矢尖為圓心、v船大小為半徑畫圓，當v合與圓相切時，α角最大，即sinθ=v船/v水
此時渡河的最短位移
s=l/sinθ=lv水/v船
【例6】氣象測量儀量雨器被認為是最古老的氣象儀器，它實際上是乙個盛雨的圓筒.如果筒裡盛了1 mm水，這表明已降了1 mm的雨，就是如此簡單.大多數標準的量雨器都有乙個寬漏斗引入圓筒玻璃量杯，而且都有刻度，該儀器可測量低至0.
25 mm的降水，圖a-4-14-13顯示了該標準量雨器.假定雨相對地面以速率v垂直落下，那麼用桶盛雨水，在不颳風或有平行於地面的風兩種情況下，哪一種能較快地盛滿雨水?
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