2023年江西省首屆研究生數學建模競賽
題目洩洪設施修建計畫
摘要該問題主要討論了洩洪設施修建計畫問題。對問題一，首先根據四條天然河道近幾年的可洩洪量資料用曲線擬合的方法，模擬出四條天然河道在2023年到2023年的排洪總量，然後將挖排洪溝決策變數假設為0-1變數，建立0-1規劃模型；對問題二，依據最小費用原則，；對問題三，主要應用其markov鏈的性質及轉移概率矩陣的相關知識建立模型，給出了等概率和非等概率兩種模型，同時給出了唯一性和穩定性的理論分析。對問題四，建立模型的主要思路是所修的線路不一定是村莊與村莊的連線。
問題一結論為：挖溝的方案為，第一年開挖第1、2、4、6號四條排洪溝，第二年開挖第3號排水溝，第三年開挖第7號排洪溝。計算所得最少費用為170萬元。
問題二結論為：開挖河道的方案為
計算所得最少費用為571.227萬元。
問題三結論為：留宿的概率分布是穩定的，等概率的穩定概率分布為：
非等概率的穩定概率分布的一種分布為：
問題四結論為：開挖河道的方案為：①- ③，②-m，③-m，mm為節點）計算所得費用為559.50 萬元。
關鍵字 0-1規劃 markov鏈轉移矩陣曲線擬合
參賽隊號 033
洩洪設施修建計畫
摘要該問題主要討論了洩洪設施修建計畫問題。對問題一，首先根據四條天然河道近幾年的可洩洪量資料用曲線擬合的方法，模擬出四條天然河道在2023年到2023年五年的排洪總量，然後將挖排洪溝決策變數假設為0-1變數，建立0-1規劃模型；對問題二，依據最小費用原則，；對問題三，主要應用其markov鏈的性質及轉移概率矩陣的相關知識建立模型，本文對問題三給出了等概率和非等概率兩種模型，同時給出了最後所得結果的唯一性和穩定性的理論分析。對問題四，建立模型的主要思路是所修的線路不一定是村莊與村莊的連線。
本文建立的所有模型都是基於matlab軟體和lingo軟體進行計算求解，計算結果為：
問題1結論為：挖溝的方案為，第一年開挖第1、2、4、6號四條排洪溝，第二年開挖第3號排水溝，第三年開挖第7號排洪溝。計算所得最少費用為170萬元。
問題2結論為：開挖河道的方案為
計算所得最少費用為571.227萬元。
問題3結論為：留宿的概率分布是穩定的，等概率的穩定概率分布為：
非等概率的穩定概率分布的一種分布為：
問題4結論為：開挖河道的方案為：①- ③，②-m，③-m，m
m為計算出來的節點)計算所得費用為559.50 萬元。
關鍵字 0-1規劃 markov鏈轉移矩陣曲線擬合
問題重述
洩洪設施修建計畫
位於我國南方的某個偏遠貧困鄉，地處山區，一旦遇到暴雨，經常發生洪澇災害。以往下雨時，完全是依靠天然河流進行洩洪。2023年入夏以來，由於史無前例的連日大雨侵襲，加上這些天然河流洩洪不暢，造成大面積水災，不僅夏糧顆粒無收，而且嚴重危害到當地群眾的生命財產安全。
為此，鄉**打算立即著手解決防汛水利設施建設問題。從兩方面考慮，一是在各村開挖一些排洪溝,以滿足近兩三年的短期防汛需要；二是從長遠考慮，可以通過修建新洩洪河道的辦法把洪水引出到主幹河流。經測算，修建新洩洪河道的費用為（萬元），其中表示洩洪河道的可洩洪量（萬立方公尺/小時），表示洩洪河道的長度（公里）。
請你們通過數學建模方法，解決以下問題：
問題1：該鄉的某個村區域內原有四條天然河流，由於泥沙沉積，其洩洪能力逐年減弱。在表1中給出它們在近年來的可洩洪量（萬立方公尺/小時）粗略統計數字。
水利專家經過勘察，在該村區域內規劃了8條可供開挖排洪溝的路線。由於它們的地質構造、長度不同，因而開挖的費用和預計的可洩洪量也不同，詳見表2，而且預計每條排洪溝的可洩洪量還會以平均每年10%左右的速率減少。同時開始修建一段20公里長的新洩洪河道。
修建工程從開工到完成需要三年時間，且每年投資修建的費用為萬元的整數倍。要求完成之後，通過新洩洪河道能夠達到可洩洪量100萬立方公尺/小時的洩洪能力。
鄉**從2023年開始，連續三年，每年最多可提供60萬元用於該村開挖排洪溝和修建新洩洪河道，為了保證該村從2010至2023年這五年間每年分別能至少達到可洩洪量150、160、170、180、190萬立方公尺/小時的洩洪能力，請作出乙個從2023年起三年的開挖排洪溝和修建新洩洪河道計畫，以使整個方案的總開支盡量節省（不考慮利息的因素在內）。
表1 現有四條天然河道在近幾年的可洩洪量（萬立方公尺/小時）
表2 開挖各條排洪溝費用（萬元）和預計當年可洩洪量（萬立方公尺/小時）
問題2：該鄉共有10個村,分別標記為①—⑩，下圖給出了它們大致的相對地理位置，海拔高度總體上呈自西向東逐漸降低的態勢。
其中村⑧距離主幹河流最近，且海拔高度最低。鄉**打算擬定乙個修建在各村之間互通的新洩洪河道網路計畫，將洪水先通過新洩洪河道引入村⑧後，再經村⑧引出到主幹河流。要求完成之後，每個村通過新洩洪河道能夠達到可洩洪量100萬立方公尺/小時的洩洪能力。
表3 各村之間修建新洩洪河道的距離（單位：公里）
請你們根據表3中的資料，為該鄉提供乙個各村之間修建新洩洪河道網路的合理方案，使得總費用盡量節省。（說明：從村a→村b的新洩洪河道，一般要求能夠承載村a及上游新洩洪河道的洩洪量。）
問題3：新洩洪河道網路鋪設完成後，打算安排一位維護人員，每天可以從乙個村到與之直接有新洩洪河道連線的相鄰村進行設施維護工作，並在到達的村留宿，次日再隨機地選擇乙個與該村直接有新洩洪河道連線的相鄰村進行維護工作。試分析長此以往，他在各村留宿的概率分布是否穩定？
問題4：你們是否能夠為該鄉提出乙個更加合理的解決洩洪的辦法？
說明：1、以上問題必須建立一般的數學模型，不能僅按照題目中提供的資料計算乙個結果。
2、建模過程中，可自行提出合理的模型假設。
1 問題一
1.1 基本假設
(1) 排洪道未修完，假設其洩洪能力為0，且排洪道洩洪能力設計為100萬立方公尺/小時。
(2）修完的排洪道排洪能力不考慮隨年份變化（衰減），即第4、5年排洪道洩洪能力都為100萬立方公尺/小時。
1.2符號說明
表示第年開挖第條排洪溝，其中
表示開挖第條溝的費用表示第條溝的洩洪能力
表示第年排洪要求表示第年四條天然河道的排洪量總量
表示第年修的洩洪道的長度為公里
1.3 模型的分析及建立
對問題一的模型的建立主要分為以下幾個步驟：
（1） 根據已知資料對四條天然河道在2023年後五年內的排水量進行曲線擬合來**2010-2023年四條天然河道洩洪能力，對這四條天然河道分別用一次多項式擬合、指數擬合、…….對天然河道洩洪能力的**結果見表4。
表4 天然河道洩洪能力的**結果表
（2） 計算得出三年內修完洩洪河道的總費用 m=139萬元
（3） 建立目標函式
其中(1.1)式表示第i年修洩洪道的費用（取整）與第ｉ年用來挖排洪溝的費用之和應小於每年最多可提供的60萬元；
(1.2)式表示三年內修的洩洪道總長要達到20公里；
(1.3)式表示三年內第j條排洪溝最多只能被挖一次；
(1.4)式表示第一年挖排洪溝的排洪量與天然河道排洪量的總和不小於第一年所要求的最小排洪量；
(1.5)式表示第二年新挖的排洪溝的排洪量，第一年已挖的排洪溝在第二年具有的排洪量，天然河道在第二年具有的排洪量，這三個排洪量的總和應不小於第二年所要求的最小排洪量，同理有(1.6)式；
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