安徽省示範高中2012屆高三第二次聯考
涵理科數學
第ⅰ卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
（1）設全集，集合，，則下列結論正確的是（ ）
a． b．
c． d．
答案：c
解析：所以。
（2）若複數（其中，）是純虛數，則的值為（ ）
a. 0b. 1c. 2d.
答案：d
解析：是純虛數可得，所以，選d。
（3）下列命題中的真命題是 ( )
a．,使得b.
cd．答案：b
解析：，，，所以a、c、d是假命題。令對於恆成立，故在上單調增，，b是真命題。
（4）的值是（ ）
1答案：a
解析：。
（5）實數的大小關係正確的是（ ）
a: b: c: d:
答案：c
解析：根據指數函式和對數函式的性質，。
（6）已知則的取值範圍是( ）
答案：b
解析：因為，由向量的三角形不等式及得：
，即的取值範圍是。
（7）如果函式的導函式是偶函式，則曲線在原點處的切線方程是（ ）
abcd.
答案： a
解析：是偶函式，得，所以，
，所以切線方程是。
（8）函式在定義域內零點的個數是（ ）
0123
答案：d
解析：在同一座標系中畫出函式與的影象，可以看到2個函式的影象在第二象限有2個交點，在第一象限有1個交點，所以函式在定義域內有3個零點。
（9）已知函式的影象關於直線對稱，且，則的最小值為abcd.
答案：ａ
解析：由題設，於是最小可以取2。
（10）若且,則下列不等式恆成立的是（ ）
a． b． c． d．
答案：d
解析：由，得，所以選項ac不恆成立，，選項b也不恆成立，恆成立，故選d。
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
二．填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
（11）已知命題恆成立，命題為減函式，若且為真命題，則的取值範圍是
答案： （或： ）
解析：命題為真可得，命題為真得，p且q為真命題時，的取值範圍是。
（12）在⊿abc中，若，, 則的值是
答案：解析：由而,，，所以為銳角，於是.
（13）已知平面向量， ，且，則向量與的夾角為 ．
答案： （或：）
解析：因為，所以，
，因此夾角為。
（14）在中，、、所對的邊分別為、、，若，、分別是方程的兩個根，則等於______．
答案：4
解析：由題意 ，所以
（15）如果不等式組表示的平面區域是乙個直角三角形，則該三角形的面積為
答案：或。
解析：有兩種情形：1）直角由與形成，則，三角形的三個頂點為，面積為；2）直角由與形成，則，三角形的三個頂點為，面積為。
三．解答題： 6小題，共75分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（16）(本題滿分12分)已知函式在定義域上是奇函式，又是減函式。
（ⅰ）證明：對任意的，有
（ⅱ）解不等式。
解：（ⅰ）若，顯然不等式成立；
若，在定義域上是奇函式，又是減函式，故原不等式成立；
同理可證當原不等式也成立6分
（ⅱ）由和已知可得以下不等式組：
12分17：(本題滿分12分)已知兩個向量，，其中，且滿足．
（ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值．
解：（ⅰ）
，所以．……6分
（ⅱ）因為，所以，
結合，可得．
於是，12分（18）(本題滿分13分)已知函式．
(ⅰ) 求函式的最小值和最小正週期；
（ⅱ）已知內角的對邊分別為，且，若向量與共線，求的值．
解：(ⅰ)
∴ 的最小值為，最小正週期為5分即7分
∵ 與共線，∴ ．
由正弦定理 ， 得9分
∵ ，由餘弦定理，得11分
解方程組①②，得13分
（19）(本題滿分12分) 某皮製廠去年生產皮質小包的年產量為10萬件，每件皮質小包的銷售**平均為100元，生產成本為80元.從今年起工廠投入100萬元科技成本，並計畫以後每年比上一年多投入100萬元科技成本，預計產量每年遞增1萬件.設第年每件小包的生產成本元，若皮製產品的銷售**不變，第年的年利潤為萬元（今年為第一年）.
（ⅰ）求的表示式
（ⅱ）問從今年算起第幾年的利潤最高？最高利潤為多少萬元？
解：（ⅰ）……6分
（ⅱ） ，令 ，故
當時，不符合實際意義10分
而故當且僅當時，最大，即第9年的利潤最高12分
20：(本題滿分12分) 已知a，b都是正實數，且，求證：
證明：因為a，b都是正實數，所以原不等式等價於
，即等價於6分
將代入，只需要證明 ，即
而由已知 ，可得成立，所以原不等式成立。 ……12分
另證：因為a，b都是正實數，所以， ……6分
兩式相加得8分
因為 ，所以12分
21：(本題滿分14分)
定義在(0，＋∞)上的函式，，且在處取極值。
（ⅰ）確定函式的單調性。
（ⅱ）證明：當時，恒有成立.
解：（ⅰ），則，
由已知，即3分
所以，則.由，…………5分
所以在上是增函式，在上是減函式6分
（ⅱ） 當時，，要證等價於
，即設，則10分
當時，，所以在區間(1，e2)上為增函式12分
從而當時，，即，故 ……14分。
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