高二數學教材分析
「 直線、平面、簡單幾何體」簡介
一、內容與要求
（一）本章主要內容是立體幾何的基礎知識和解決立體幾何問題的基本思想方法
本章的具體知識點主要包括：平面及其基本性質， 兩條直線的位置關係，平行直線，對應邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離， 直線和平面的位置關係，直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到平面的距離，斜線在平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理， 兩個平面的位置關係，平行平面的判定與性質，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩個平面垂直的判定與性質， 稜柱，稜錐，多面體和正多面體，球。
（二）本章在體系編排上分為兩大節：第一大節是「空間直線和平面」，第二大節是「簡單幾何體」
1．直線和平面是最基本的幾何元素，空間直線和平面的位置關係是立體幾何的基礎知識。學好這一部分內容，對於學生在已有的平面圖形知識基礎上，建立空間觀念，使對圖形的認識實現從平面圖形到立體圖形這一飛躍，是非常重要的。
第一大節包括6小節，依次按照平面、空間直線、直線和平面平行、直線和平面垂直、兩平面平行、兩平面垂直的順序編排。這6節之間密切聯絡，前面內容是後面內容的理論根據，後面內容既鞏固了前面內容，又發展和推廣了對前面內容的認識。從而形成了乙個關於空間直線和平面位置關係的概念、判定和性質的知識體系。
本大節無論在全章的知識系統中，還是在培養學生的辯證唯物主義觀點、空間想象能力和邏輯思維能力方面，都具有重要的基礎作用。
2．簡單幾何體，是指最基本、最常見的幾何體．按照大綱的規定，本章中有關簡單幾何體只討論稜柱、稜錐、多面體和正多面體、球。這些內容依次排列，構成第二大節所含的4小節。
由於初中幾何已學過圓柱和圓錐的有關內容，台體（圓台、稜臺）又可以通過從大錐體上截去小錐體而得出，為節約課時以便實現高中數學教學內容的更新，本章中的簡單幾何體比原《立體幾何》（必修本）在內容上精簡幅度較大，刪去了圓柱、圓錐、圓台、稜臺等，只保留了最基本的多面體（稜柱和稜錐）、一般多面體的有關概念、球。
關於稜柱和稜錐，教學內容包括有關概念、性質、直觀圖的畫法三部分．其中直觀圖的畫法僅重點討論直稜柱和正稜錐的直觀圖。為對有關體積的計算形成統一認識，第二大節中第乙個閱讀材料安排了《柱體和錐體的體積》，介紹了祖氏原理，並根據這一原理對柱體和錐體的體積公式作了理論上的說明。
關於多面體，教學內容包括有關概念和尤拉公式。此外，還安排了閱讀材料《尤拉公式和正多面體的種類》，對尤拉公式的推導作了簡要介紹。
關於球，教學內容包括有關概念、性質、球的體積和表面積．本章通過「分割，求近似和，化為準確和」的方法，即運用「化整為零，又積零為整」的極限思想，對於球的體積和表面積公式進行了推導，這種處理方法與原《立體幾何》（必修本）有較大變化。教學中對這兩公式的推導，只要求了解其基本思想方法即可，重點在於掌握公式本身,而不必要求學生一定要掌握公式推導的細節。
第二大節的內容，既是對簡單幾何體基礎知識的重點討論，又是對第一大節中空間直線和平面位置關係相關知識的綜合運用。
（三）本章的教學要求
1．掌握平面的基本性質，會畫圖表示平面。
2．掌握空間兩條直線的位置關係，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關係的圖形；掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對於異面直線的距離，只要求會計算已給公垂線時的距離）。
會用上述概念以及空間兩條直線平行與垂直關係的性質和判定，進行論證和解決有關問題。
3．掌握空間直線和平面的位置關係，能夠畫出空間直線和平面的各種位置關係的圖形；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念；掌握三垂線定理及其逆定理。
會用上述概念以及直線與平面平行、垂直關係的性質和判定，進行論證和解決有關問題。
4．掌握平面與平面的位置關係，能夠畫出平面與平面的各種位置關係的圖形；掌握二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念。
會用上述概念以及平面與平面平行、垂直關係的性質和判定，進行論證和解決有關問題。
5．進一步熟悉反證法，會用反證法證明簡單的問題。
6．掌握稜柱的概念、性質，會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和直稜柱的直觀圖。
7．掌握稜錐的概念、正稜錐的性質，會畫正稜錐的直觀圖。
8．了解多面體、凸多面體、正多面體的概念，理解多面體的尤拉公式。
9．掌握球的概念、性質、體積及表面積公式。
10．通過本章教學，培養學生的辯證唯物主義觀點、空間想象能力和邏輯思維能力．
二、本章的特點
（一）重視加強三種數學語言功能的發揮，使教材更有利於培養學生的空間想象能力
數學語言是在數學思維中產生和發展的，又是數學思維不可缺少的重要工具．在對數學語言的研究中,通常按數學語言所使用的主要詞彙，將數學語言分為三種：文字語言、符號語言和圖象語言。例如，「垂直於同一平面的兩條直線平行」是乙個立體幾何定理的文字語言形式；是該定理的符號語言形式；用圖象語言，這個定理則可表示為圖1。
幾種語言各有特點，發揮著不同的功能，又互相依存，互相制約。
圖1本章編寫中注意了採取以下幾點措施來加強三種數學語言功能的發揮。
1．從圖象語言入手，有序地建立三種數學語言的聯絡
當代著名數學家、數學教育家g．波利亞將一般數學問題的解決分為四個水平，即圖象水平，聯絡水平，數學水平和探索水平。從數學語言的角度說，這裡的第一種水平，使用的主要是圖象詞彙；第二種水平，是將所考察的物件及表示它的圖象詞彙用文字或符號表示出來，建立幾種詞彙間的聯絡；第三種水平，是將各種數學詞彙發展成以數學理論為「句法」的數學語句；第四種水平，是由數學語句發展成數學文章，即給出問題的數學解答並由此做出進一步探索。
在「直線、平面、簡單幾何體」這章中，上述四種水平的循序發展尤為典型．立體圖形是立體幾何研究的物件，對它的一般描述表示是按「三維物件（幾何模型）--圖形--文字--符號」這種程式進行的。其中，圖形是將考察物件第一次抽象後的產物，是首先使用的數學詞彙，也是形象、直觀的語言。完成了由物件到圖形的飛躍，才有可能達到後面的水平。
因此，加強圖形的運用十分重要。本章編寫中注意首先強調圖象語言，不僅適當增加插圖的數量，而且注意提高插圖的質量，在圖形的典型性、簡明性、直觀性、概括性及趣味性等方面下功夫，力求充分發揮其作用。文字語言是對圖形的描述、解釋與討論，符號語言則是文字語言的簡化和再次抽象。
顯然，首先建立的是圖象語言，其次是文字語言，再次是符號語言，最後形成的應是對於物件的三種數學語言的綜合描述，即整體認識。有了這種整體認識，三種語言達到融匯貫通的程度，即由一種描述能轉化為其他描述，就基本能把握物件了。
對於物件的文字和符號描述，必須緊密聯絡圖形，使抽象與直觀結合起來，即在圖形的基礎上發展其他數學語言．本章在闡述定義、定理、公式等重要內容時，先給出圖形再以文字和符號描述，注意綜合運用幾種數學語言，使其優勢互補，以期能收到更好的效果，給學生留下更深刻的印象。
2．做好由模型到圖形的過渡
立體幾何的乙個主要難點，是要由畫在二維平面（如書頁）上的圖形想象出三維空間中的幾何關係。對此,即使學習了較長時間立體幾何，遇到複雜些的圖形也有一定難度。對於初學立體幾何的高中生，把平面上的圖形在頭腦中立體化困難就更大。
克服這些困難的乙個有效辦法，就是做好由模型到圖形的過渡。要增加一些由模型畫圖形的訓練，例如畫簡單幾何體（正方體等）的練習可以提前些。通過觀察實物或模型並用幾何圖形表示它們，熟悉空間各種線面關係的表示方法，對於看圖是非常重要的。
這應作為學習立體幾何的圖象語言的起始內容。為此，本章在練習和習題中安排了一些「觀察圖形後填空」或「用符號表示語句並畫出圖形」型別的題目，希望教學中能重視發揮它們的作用。
3．注意兩個方向的轉化
培養空間想象力，有兩個不同方向的轉化問題．首先是「圖形---文字--- 符號」的轉化，即由圖形出發，弄清畫在平面（書頁、黑板等）上的立體圖形所表示的空間幾何關係，以及未明確表示的隱蔽關係，然後將它們用文字語言加以描述，再以數學符號概括表示，將「有形」的資訊變為「無形」的形式．其次是「符號---文字---圖形」的轉化，即理解符號或文字所表達的空間幾何關係，並將它們用圖形直觀地表示出來，化「無形」為「有形」。因此，本章注意了由不同方向對圖形與文字、符號間轉化的設計安排，特別在前面部分的練習題和習題中增加了插圖的數量，並且加強這種轉化的訓練。這樣做既有利於第一種轉化,同時也為實現第二種轉化做了必要準備。
4．文字語言要準確簡明
本章的語言敘述力求準確簡明。對乙個公理和乙個定義在文字敘述上作了變化。
（1）關於平面的公理2的敘述
在《立體幾何》課本（必修本）中，公理2是這樣敘述的：
「如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且僅有一條通過這個點的公共直線。」
關於公理2的這種文字表達上似應改進。讀了上述文字，可能初學者會問：「這兩個平面的過這個點的公共直線有且僅有一條，此外還有無不過這個點的公共直線？
」「這兩個平面除這條公共直線外還會有別的公共點嗎？」產生這樣的疑問的原因是，從字面上看上述公理中「有且僅有一條」的物件單指「通過這個點的公共直線」而不包括其他公共直線。雖然由「通過這個點的公共直線有且僅有一條」可以推出「這兩個平面的公共直線有且僅有一條，它通過這個點」，但是這樣的推導又需使用另外的公理（公理3），進行這樣的推導並非原課本設計的本意。
實際上，由課本的上下文及插圖可以明顯地看出，課本中安排這個公理是要直接明確地告訴學生：「這兩個平面的公共直線有且僅有一條，它通過這個點。」
鑑於以上所述，本章雖然仍以這個公理為公理2，但是在文字敘述上改寫如下：
「如果兩個平面 * 有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條直線．」（教科書中加頁邊注：* 在本章中，沒有特別說明的「兩個平面」，均指不重合的兩個平面．）
由於新教材在第1章專門安排了「集合」的內容，在第9章的序言中又強調了「空間圖形是空間中點的集合」，所以編者認為改寫後的公理2，能夠結合學生已學的集合概念，簡單準確清楚地說明問題，從而克服原教材敘述上的不足．
（2）關於兩點間球面距離的敘述
《立體幾何》課本（必修本）對兩點的球面距離敘述如下：
「在球面上，兩點之間的最短距離，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度．我們把這個弧長叫做兩點的球面距離．」
學年度第二學期高二數學工作計畫
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