3月22日下午馮祖鳴
北京大學畢
美國一所私立中學教師
美國國家隊imo領隊
主講美國數學奧林匹克（含部分伊朗內容）
風格：先讓學員自己做。然後讓學員講，不會，則他給出提示。
1．n－序列：1，2，3，…,n.找出最小的n,存在乙個n－序列是個「回尾數」，在19－列中有多少個「回尾數」。
「回尾數」是指從頭到尾讀或從尾到頭讀是一樣的數。如12321。
解：（1）2，13，4，15，6，17，8，19，1，10，11，9，18，7，16，5，14，3，12
（2）9，18，7，16，5，14，3，12，1，10，11，2，13，4，15，6，17，8，19
2．設s=，2是以1開頭的604位數，求s中以4開頭的數的個數。
解：以1開頭的數有603個，
則以2，3開頭的數有603個，
以4，5，6，7開頭的數有603個，
以8，9開頭的數有2004－（603+603+603）=1809個。
所以以4開頭的數有1809個。
3月22日下午馮祖鳴
美國一所私立中學教師
美國國家隊imo領隊
主講美國數學奧林匹克（含部分伊朗內容）
風格：先讓學員自己做。然後讓學員講，不會，則他給出提示。
3月23日上午吳偉朝
中國數學奧林匹克高階教練員
數學奧林匹克命題專家
imo中國國家代表隊教練
mo方向碩士生導師
位址：廣州大學理學院數學系
020－86198971（宅） 136********
主講函式與函式方程
1．求證：任何乙個其定義域關於原點對稱的函式，都可表示為乙個奇函式與乙個偶函式之和，並且表示是唯一的。
解：y=f(x),x∈d,若x∈d則－x∈d
設f(x)=g(x)+h(x),g(x)是奇函式，h(x)是偶函式
f(－x)=g(－x)+h(－x)=－g(x)+h(x)
兩式相加和相減分別得到
h(x)= (f(x)+f(－x))
g(x) = (f(x)－f(－x))
2.設a∈r,若函式y=f(x)與 y=10+3關於直線y=x對稱，且y=f(x)與y=lg(x－x+a)有公共點，求a的取值範圍。
解：y=f(x)是y=10+3的反函式，即y=lg(x－3)
∵ y=f(x)與y=lg(x－x+a)有公共點，∴ 方程lg(x－x+a) =lg(x－3)有解
∵ 由x－x+a =lg(x－3)得a=－x+2x－3=－(x－1)－2
再由x>3 得a<-6
3.在正三角形的三個頂點上各放置乙個整數，使得三個數的和為正。若某個頂點上的數x<0,則三個頂點上的數x,y,z分別被換為－x,y+x,z+x.
只要三個數中還有乙個是負數，這種「操作」就進行下去，一直到不出現負數時才停止。問：是否存在有限多次之後，這種「操作」一定會停止。
解：建構函式
設f(x,y,z)=x+y+z
條件:(1)f(x,y,z)≥0;
(2)f(x,y,z)為整數;
(3)f(x,y,z)嚴格下降即f(x,y,z)>f(－x,y+x,z+x).
f(x,y,z)－f(－x,y+x,z+x)=x+y+z－[(－x) +(y+x) +(z+x)]=－2x(x+y+z)……..
以下為函式方程
4．求出所有的函式f:r --> r,使得對於所有的 a,b∈r,都有f(a·f(b))=ab (*)
解法一：特殊到一般
取a=1,f(f(b))=b (1)
對（*）兩邊取f,並利用(1) f(ab)=f(f(a·f(b)))=af(b) (2)
對 （2）中取b=1,f(a)=af(1) (3)
把（3）帶入（*），左右互換 ab=f(1)· ab
所以f(1)=1或f(1)=－1
∴ 所求函式為f(x)=x 或f(x)=－x
解法二：利用滿射
3月28日
李興懷華南師大附中
4月1日
錢展望中學數學特級教師，湖北省數學學會理事，中國數學奧林匹克高階教練。
所帶學生共獲得7塊金牌。
現為珠海人大附中副校長。
1.證明：（1）若x>0,y>0,則；
(2) 若x,y,z∈r+,則。
證：（1）
（2）點評：不要把問題考慮的太複雜。
用「爬坡推理」
2．若,證明：
（1）（2）設,求證：
分析用數學歸納法
當n=1 時，顯然成立
當n=2時，
當n=3時，
已不好判斷，因為後面的項正負交錯。
當若設n=k時，結論成立，判斷n=k+1比較簡單。因為
（2）思考：前兩道題若沒有第一問，是否能做出來。
3．設x,y,z∈r,滿足，試證：
x,y,z都不是負數，也都不大於a.
分析：本題為60年代華羅庚老一輩數學家提出的問題，估計考查兩問
解法一：（ 華羅庚老一輩數學家給出）
(1)消去 a得
若z<0，則
x+y≤0 x+y+z<0，矛盾.
故z≥0.
同理可證x≥0,y≥0.
(2)令
經驗證x，y，z滿足
由第一問知x，y，z都不是負數，所以x,y,z都不大於a.
以下為新的解法。
解法二由（1）得z=a－(x+y),代入（2）得
變形為關於x 的方程：
△= 所以0≤y≤a;同理0≤x≤a，0≤z≤a
解法3由(1)(2)得
∵ (x+y)≤2(x+y)
∴ ,解得0≤z≤a
同理0≤x≤a，0≤y≤a
4.設在桌面上有乙個絲線做成的線圈，它的周長是4a,我們又用紙剪成乙個直徑是2a的圓紙片，證明：
（1）當線圈作成乙個平行四邊形時，我們可以用所做的圓紙片完全蓋住它。
（2）當線圈作成任一形狀時，我們都可以用一直片完全蓋住它。
分析：(1)如圖4－1，在平行四邊形上任取一點p，要使圓紙片完全蓋住它，一要確定圓的圓心，把圓紙片的圓心取在平行四邊形的對角線交點上（圖中的點o），另外需證明op≤a)
證明：(1)在平行四邊形上任取一點p，則op ≤ max
不妨設od∵ ac ≤ ad+dc=2a,∴ oc ≤ a
(2)**圈上任取兩點p、q,使p、q把線圈分成長度相等的兩部分,取pq的中點o,我們考慮一半圖形.
在其中一半圖形上任取一點m,只需證om≤a.
∵ om ≤ (pm+mq)
又∵ pm+mq≤曲線pmq=2a
∴ omom≤a
5.有兩個矩形紙片abcd與ab』c』d』固定疊合,如圖,其中ab= a,ad=b,ab』=xa,ad』=yb,設p,q是小矩形紙片上任意兩點，r是大矩形紙片上任意一點.證明:
≤ab(x+y－xy), 並說明p,q,r在什麼位置時,等號成立.
分析：p、q的位置有以下幾種情況
第一種：當p、q在da或ab上
不妨設p、q在da上，則
,此時不是最大。
第二種：
點p、q都不同在da或ab上。如圖5－1
（1）= =ab(x+y－xy)
求的另外一種方法為如圖5－2
==ab(x+y－xy)（以下將還用此種方法）
分別過點p、q作ab、ad的平行線相交於點t。
若點r在∠gth的內部，則
(設tp=f,tq=e)
（因為xa≥f,yb≥e）
=ab(x+y－xy)
若點r在∠gth的外部(如圖5－4)，則過點r作pq的平行線l，在l 上移動點r，使其在∠gth的內部，設其為r』，則有平行線間的面積相等
6．已知四邊形的四個頂點位於△abc的邊上。證明：四個三角形至少有乙個面積不大於△abc的。
，而此式易證.
裘宗舜經典語錄
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聽朱玉民教授講座有感
年 月 日我有幸在壽光科技職業學院聆聽了東北師範大學朱玉民教授 資訊科技與課堂有機整合 的講座，使我受益匪淺。那天上課初，當我走進報告廳時，在舞台上就看到一位目光如箭的老人，由於來的比老人還晚，我們都有些不好意思了，七點四十，還不到上課時間，這位老人就來到了教室，還默默地注視了我們很久。當主持人說這...
清華經管朱英姿副教授介紹
朱英姿金融系副教授 辦公室偉倫樓329 個人簡介 研究成果 研究專案 朱英姿，1997年獲美國紐約大學博士，2002年獲紐約大學stern商學院工商管理碩士，2003年加入清華大學經濟管理學院，任金融學副教授至今。加入清華之前，在美國花旗集團 紐約 工作六年，歷任風險管理和定量研究主管。曾在 jou...